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Agora vamos ver se estiveram com atenção... Divirtam-se com estes exercícios e problemas!
Calculando as imagens...
Nas seguintes funções, qual é a imagem f(x) quando x = 4 e para x = -2?
a) f(x) = 2/(x-3)
b) f(x) = 1/x
c) f(x) = (x3 + 6)/3
d) f(x) = 20/(x2 - 4)
e) f(x) = x3 - 9x2 + 15x
Domínio
Qual o domínio das funções do exercício anterior?
Operações com Funções
1. Expressa a função p(x), que se obtém a partir do produto de f(x) = 1/(x-2) e g(x) = (x2-4)/(x-1).
Qual é o domínio de f, de g e de p?
2. Sejam as funções h(x) = 2x - 3 e k(x) = 3x2 + 4. Escreve as expressões que definem as funções compostas (h o k) e (k o h).
3. Calcula a expressão que define a função inversa das seguintes funções:
a) f(x) = 2x - 4
b) f(x) = x2, com x 0
c) f(x) = x3/8
d) f(x) = 2/(x-1)
A horta à beira do rio
O Sr. António pediu-nos ajuda:
«Tem 100 metros de rede para vedar um terreno rectangular à beira do rio. Só quer vedar os três lados que não dão para o rio. Mas quer que a área da horta fique o maior possível...»
a) Qual a função a maximizar, que nos dá a área do terreno?
b) Qual a expressão da área numa só variável? Define o seu domínio.
c) Procura os extremos relativos da função recorrendo à derivada.
d) Interpreta os resultados obtidos no contexto do problema.
Volta a Portugal
Observe o gráfico abaixo, publicado no «Expresso»
a) Justifica que a função não tem derivada nos pontos assinalados com 1,2,3.
b) Dos locais assinalados indica dois entre os quais a função é monótona.
c) Dos troços de declive positivo, indica o de maior declive e o de menor.
d) Indica três máximos e três mínimos.
Praia
Observa a figura:
O tripulante do barco B tem de levar uma mensagem urgente a um ponto a 12 km de A, que é o ponto da praia mais próximo de B. O barco só dá 6 km/h mas o tripulante pode correr na orla da praia a 10 km/h.
Exprime o tempo que leva de B a P em função da distancia x de A ao ponto D de desembarque na praia.
Problema dos Moinhos
Temos quatro moinhos dispostos nos vértices de um quadrado. Pretendemos construir uma estrada que ligue os quatro moinhos, de forma a gastar o mínimo de alcatrão possível, ou seja, que a estrada construída tenha o menor comprimento possível. Pretendemos saber como deverá ser construída a estrada. A estrada não tem de voltar ao ponto de partida.
SOLUÇÕES
a) Para x = 4, f(x) = 2; para x = -2, f(x) = -2/5.
b) Para x = 4, f(x) = 1/4; para x = -2, f(x) = -1/2.
c) Para x = 4, f(x) = 70/3; para x = -2, f(x) = -2/3.
d) Para x = 4, f(x) = 5/3; para x = -2, f(x) não existe.
e) Para x = 4, f(x) = -20; para x = -2, f(x) = -74.
a) Todos os números reais menos o 3. Se x = 3 a função não existe. D = R/{3}.
b) Todos os números reais menos o 0. Se x = 0 a função não existe. D = R/{0}.
c) Todos os números reais. D = R.
d) Todos os números reais, excepto -2 e 2. Se x = -2 ou se x = 2 a função não existe, dado que a divisão por 0 não foi definida. D = R/{-2,2}.
e) Todos os números reais. D = R.
1. p(x) = (x + 2)/(x-1). O domínio de f são todos os números reais menos o 2. O domínio de g são todos os números reais menos o 1. O domínio de p são todos os números reais menos o 1 e o 2.
2. (h o k)(x) = 6x2 + 5.
(k o h)(x) = 12x2 - 36x + 31.
3. a)
(x) = 1/2x + 2.
b)
c)
a) A = y.x
b) O melhor é chamar x a um dos lados iguais. O outro será 100 - 2x. A área expressa em função de x: A = (100 - 2x).x = 100x - 2x2
Encontramos a função f: x
A = 100x - 2x2 cujo domínio é definido pelas condições x
0 e 100 - 2x
c) A/= 100 - 4x
d) A função A(x) tem dois mínimos (área nula) e um só máximo que corresponde às dimensões 25*50, que dá uma área de 1250 m2 , o que satisfaz o problema.
a) Nesses pontos não é possível traçar tangentes a à curva (derivadas laterais diferentes).
b) Penhas da Saúde e Torre; Nave e Torre (crescente).
c) Nave, Torre, Penhas - máximos
Mínimos - pode-se escolher qualquer um dos pontos mais baixos dos "vales" da serra.
Como se tem
,
e
,
O barco demora
e o tripulante
horas.
O tempo perdido é
que corresponde à função irracional f (x) =
O domínio de t é Dt = [0,12] visto que x < 12km e 16 + x2 >0
x.
Esquematizando, temos que o caminho mais curto que podemos definir é da forma:
Chamemos agora d ao comprimento da estrada. Por aplicação do Teorema de Pitágoras a cada triângulo como o definido na figura, a hipotenusa h desse triângulo é dada por:
Como temos r = 1 – 2x e d = r + 4h , podemos definir a função:
queremos determinar o menor comprimento, vamos calcular o mínimo da função d(x). Temos:
Então, os extremos da função são
,
Pelo estudo da função verifica-se que o mínimo da função é
Então temos:
Então, o comprimento mais curto que a estrada poderá ter é:
d = 2,732 Km
