CÓNICAS

    Chama-se secção cónica plana, ou mais abreviadamente cónica, à intersecção de um plano e de um cone de revolução. Esta definição é única, entre as que se usam em Geometria Pura, verdadeiramente geral. A definição através de um foco e de uma directriz não contempla a circunferência; a definição por dois focos deixa de lado a parábola.
Dados uma recta d, um ponto F, e um real positivo e, a cónica de directriz d, de foco F e excentricidade e é o conjunto de pontos tais que a razão da distância desses pontos a F pela sua distância a d é igual a e.

     Vamos agora abordar as cónicas geometricamente e analiticamente

GEOMETRICAMENTE:

 Basicamente, o que distingue as cónicas é a forma como elas são obtidas a partir de cortes da superfície cónica. Mas as cónicas também se podem obter a partir de superfícies cilíndricas de revolução.

As possíveis posições de um plano que intersecte a superfície cónica ou cilíndrica determina diversas secções cónicas.
Quando o:

  plano intersecta todas as geratrizes e o eixo

Na superfície cónica: é perpendicular ao eixo - intersecção dá a circunferência. contém o vértice -  intersecção dá um ponto é oblíquo ao eixo - intersecção dá a elipse   Na superfície cilíndrica é oblíquo em relação ao  eixo - intersecção dá elipse é perpendicular em relação ao eixo - intersecção dá a circunferência

   plano é paralelo ao eixo

Na superfície cónica: não contém o eixo - intersecção dá a hipérbole. contém o eixo -  intersecção dá duas rectas concorrentes.   Na superfície cilíndrica contém duas geratrizes-  intersecção dá duas rectas paralelas. contém uma geratriz- intersecção dá uma recta. não contém nenhuma geratriz- intersecção dá o conjunto vazio

   plano é paralelo a uma posição da geratriz

Na superfície cónica: não contém a geratriz - intersecção dá a parábola. contém a geratriz -  intersecção dá uma recta.   Na superfície cilíndrica Este caso já foi referido anteriormente.

ANALITICAMENTE:

      As cónicas são representadas por equações de 2ºgrau em x e em y:

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

Note-se que nem sempre uma equação deste tipo representa uma curva. Pode representar uma ou duas rectas, como por exemplo:

  x² - y² + 2y - 1= 0  ou seja  (x-y+1)(x+y-1) = 0

vem então  x - y + 1 = 0  ou  x + y - 1 = 0

(representa a reunião de duas rectas)

 

Uma equação de segundo grau pode também definir um ponto ou um conjunto vazio, nestes casos (incluindo as duas rectas) as cónicas designam-se por cónicas degeneradas.

  As cónicas classificam-se em três grandes grupos:

       Em particular as equações do tipo:

Ax² + Cy² + Dx + Ey - F = 0 (B = 0)

definem cónicas com os eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados.

Se quiser continuar a exploração detalhada das secções cónicas: elipse, hipérbole e parábola; convidamo-lo a ir ao índice para que possa consultar mais detalhadamente estas secções cónicas.