CÓNICAS

    Chama-se secção cónica plana, ou mais abreviadamente cónica, à intersecção de um plano e de um cone de revolução. Esta definição é única, entre as que se usam em Geometria Pura, verdadeiramente geral. A definição através de um foco e de uma directriz não contempla a circunferência; a definição por dois focos deixa de lado a parábola.
Dados uma recta d, um ponto F, e um real positivo e, a cónica de directriz d, de foco F e excentricidade e é o conjunto de pontos tais que a razão da distância desses pontos a F pela sua distância a d é igual a e.

 

excentricidade       

cónica

e = 0 circunferência
0<e<1 elipse
e = 1 parábola
e>1 hipérbole

     

Nota:A excentricidade é um parâmetro comum a todas as cónicas. A excentricidade na elipse e na parábola é a razão entre a distância focal e a distância entre os vértices.

 Basicamente, o que distingue as cónicas é a forma como elas são obtidas a partir de cortes da superfície cónica. Mas as cónicas também se podem obter a partir de superfícies cilíndricas de revolução.

As possíveis posições de um plano que intersecte a superfície cónica ou cilíndrica determina diversas secções cónicas.
Quando o:

  plano intersecta todas as geratrizes e o eixo


Na superfície cónica:
é perpendicular ao eixo -
intersecção dá a circunferência.
contém o vértice - 
intersecção dá um ponto
é oblíquo ao eixo -
intersecção dá a elipse

 

Na superfície cilíndrica
é oblíquo em relação ao 
eixo - intersecção dá elipse
é perpendicular em
relação ao eixo - intersecção dá a
circunferência

 

   plano é paralelo ao eixo

 

Na superfície cónica:

não contém o eixo -
intersecção dá a hipérbole.
contém o eixo - 
intersecção dá duas rectas concorrentes.

 

Na superfície cilíndrica
contém duas geratrizes- 
intersecção dá duas rectas paralelas.
contém uma geratriz-
intersecção dá uma recta.
não contém nenhuma
geratriz- intersecção dá o conjunto vazio

 

   plano é paralelo a uma posição da geratriz

 

Na superfície cónica:

não contém a geratriz -
intersecção dá a parábola.
contém a geratriz - 
intersecção dá uma recta.

 

Na superfície cilíndrica
Este caso já foi referido anteriormente.

 

 

ANALITICAMENTE:


      As cónicas são representadas por equações de 2ºgrau em x e em y:

 

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Note-se que nem sempre uma equação deste tipo representa uma curva. Pode representar uma ou duas rectas, como por exemplo:

  x2 - y2 + 2y - 1= 0  ou seja  (x-y+1)(x+y-1) = 0

vem então  x - y + 1 = 0  ou  x + y - 1 = 0

(representa a reunião de duas rectas)

 

Uma equação de segundo grau pode também definir um ponto ou um conjunto vazio, nestes casos (incluindo as duas rectas) as cónicas designam-se por cónicas degeneradas.

  As cónicas classificam-se em três grandes grupos:

 

Elipses B2-4AC < 0
Parábolas B2-4AC = 0
Hipérboles

B2-4AC > 0


       Em particular as equações do tipo:

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey - F = 0 (B = 0)

definem cónicas com os eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados.

 

Se quiser continuar a exploração detalhada das secções cónicas: elipse, hipérbole e parábola; convidamo-lo a ir ao índice para que possa consultar mais detalhadamente estas secções cónicas.