ELIPSE

  Definição geométrica

  Como se obtém a equação reduzida da elipse

  Equação reduzida da elipse

  Tabela de resumo da elipse

  Translação da elipse  

  Como obter a elipse a partir da circunferência

Definição Geométrica:

Elipse é o conjunto de pontos do plano tais que a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos fixos é constante e maior que a distância entre eles.

Aos pontos fixos chamamos  focos e a constante é o comprimento do eixo maior da elipse.

Como obter a equação reduzida da elipse:

Para o estudo que vamos fazer consideremos que a elipse  tem os focos sobre o eixo dos xx  e é centrada na origem, ou seja, no ponto (0,0) . Designaremos os focos da elipse por  F₁,F₂  e por    V₁ ,V₂, V₃, V₄  os seus vértices.

assim

,  ,

com  2a > 2c

  então por definição temos:

, equação vectorial da elipse, onde P(x,y)               e um ponto sobre a elipse

Portanto:

Elevando  ambos os membros ao quadrado duas vezes vem:  

(a² -  c²)x² + a² y² = a²(a² -  c²) ou seja  b²x² +  a² y² =a²b², b²= a²- c²

Dividindo agora tudo por a²b²  obtém-se a equação reduzida da elipse:

Da mesma forma, considerando os focos da elipse sobre o eixo dos yy e eixo maior igual a 2b  chegaríamos à seguinte equação:

Tabela resumo da elipse  

Características da Elipse
Centro	(0,0)	(0,0)
Equação Reduzida
Focos	F1(-c,0)  F2(c,0)	F1(0,c)  F2(0,-c)
Vértices	V1(-a,0)   V3(0,b) V2(a,0)   V4(0,-b)	V1(-a,0)   V3(0,b) V2(a,0)   V4(0,-b)
Distância Focal	2c	2c
Eixo Maior	[V1V2]  2a	[V3V4]   2b
Eixo Menor	[V3V4]   2b	[V1V2]   2a
Excentricidade
Directrizes	y=±a/e	y=±b/e
Relação entre a,b,c	a2 = b2 +  c2	b2 = a2 +  c2

Translação  da elipse segundo um vector  

Para cada elipse podemos considerar uma translação segundo um vector (x₁,y₁)

O centro da nova elipse é (x₁,y₁), raciocinando da mesma maneira análoga tem-se para equação reduzida da elipse:

Assim:

Os restantes elementos não se alteram.  

Como obter a elipse a partir da circunferência

Uma elipse de centro na origem pode ser obtida por uma transformação da circunferência. A equação da elipse obtém-se transformando uma das coordenadas da equação da circunferência, e é do tipo:

(kx)² + y² = r²             ou           x²+ (ky)² = r²

Note-se que k é uma constante relacionada com a deformação da circunferência em que k=(r/r').