ELIPSE

 

  Definição geométrica

  Como se obtém a equação reduzida da elipse

  Equação reduzida da elipse

  Tabela de resumo da elipse

  Translação da elipse  

  Como obter a elipse a partir da circunferência

 

Definição Geométrica:

 

Elipse é o conjunto de pontos do plano tais que a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos fixos é constante e maior que a distância entre eles.

 

Aos pontos fixos chamamos  focos e a constante é o comprimento do eixo maior da elipse.

 

Como obter a equação reduzida da elipse:

 

Para o estudo que vamos fazer consideremos que a elipse  tem os focos sobre o eixo dos xx  e é centrada na origem, ou seja, no ponto (0,0) . Designaremos os focos da elipse por  F1,F2  e por    V1 ,V2, V3, V4  os seus vértices.

F1(-c,0)   V1(-a,0)   V3(0,b)

F2(c,0)   V2(a,0)   V4(0,-b)

 

assim   ,  ,  com  2a > 2c

  então por definição temos:

  , equação vectorial da elipse, onde P(x,y)               e um ponto sobre a elipse

Portanto:

Elevando  ambos os membros ao quadrado duas vezes vem:  

(a2 -  c2)x2 + a2 y2 = a2(a2 -  c2) ou seja  b2x2 +  a2 y2 =a2b2, b2= a2- c2

Dividindo agora tudo por a2b2  obtém-se a equação reduzida da elipse:

 

Da mesma forma, considerando os focos da elipse sobre o eixo dos yy e eixo maior igual a 2b  chegaríamos à seguinte equação:

 

Equação reduzida da elipse

Tabela resumo da elipse  

Características da Elipse  

Centro (0,0) (0,0)
Equação Reduzida

 

Focos

F1(-c,0)  F2(c,0)

F1(0,c)  F2(0,-c)  

Vértices  V1(-a,0)   V3(0,b)

V2(a,0)   V4(0,-b) 

V1(-a,0)   V3(0,b)

V2(a,0)   V4(0,-b)

Distância Focal 2c 2c
Eixo Maior

[V1V2]  2a

       [V3V4]   2b  

Eixo Menor

  [V3V4]   2b

  [V1V2]   2a

Excentricidade

Directrizes y=±a/e y=±b/e
Relação entre a,b,c

  a2 = b2 +  c2  

b2 = a2 +  c2  

 

Translação  da elipse segundo um vector  

Para cada elipse podemos considerar uma translação segundo um vector
(x1,y1)

O centro da nova elipse é (x1,y1), raciocinando da mesma maneira análoga tem-se para
equação reduzida da elipse:

 

 

Assim:

Características

                           Com focos numa paralela a OX  a > b  

Com focos numa paralela a OY  b > a
Focos (±c,0)+(x1,y1) (0,±c)+(x1,y1)


Vértices

 

(±a,0)+(x1,y1)

(0,±b)+(x1,y1)

 (±a,0)+(x1,y1)

(0,±b)+(x1,y1)

Directrizes

x-x1=±a/e y-y1=±b/e

Os restantes elementos não se alteram.  

 

Como obter a elipse a partir da circunferência

Uma elipse de centro na origem pode ser obtida por uma transformação da circunferência. A equação da elipse obtém-se transformando uma das coordenadas da equação da circunferência, e é do tipo:

(kx)2 + y2 = r2             ou           x2+ (ky)2 = r2

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Note-se que k é uma constante relacionada com a deformação da circunferência em que k=(r/r').