HIPÉRBOLE

    Definição geométrica

  Como se obtém a equação reduzida da hipérbole

  Equação reduzida da hipérbole

  Tabela de resumo da hipérbole

  Translação da hipérbole

  Hipérbole equilátera

Definição geométrica:

         Hipérbole é o conjunto dos pontos tais que o módulo das distâncias a dois pontos fixos é menor que a distância entre eles. Aos pontos fixo dá-se o nome de focos e a constante é o comprimento do eixo transverso.

Como se obtém a equação reduzida da hipérbole?

          Tomemos para o nosso estudo a hipérbole com os focos sobre o eixo dos xx e centro na origem. Designemos os focos por F₁, F₂ e por V₁, V₂ os seus vértices, assim:

F1(-c,0)           F2(c,0) V1(-a,0)           V2(a,0)

       Então da definição de hipérbole (P(x,y) ponto sobre a hipérbole) vem:

Equação Vectorial

Portanto:

Elevando duas vezes ambos os membros ao quadrado vem:

 (c² - a²)x² - a²y² = a² (c² - a²),  ou seja,    b²x² - a²y² = a²b²,   b²=c²-a²    

Como por definição temos 2c > 2a ou seja c > a,

Dividindo tudo por a²b² vem:

Equação reduzida da hipérbole

Da mesma forma considerando os focos da hipérbole sobre o eixo dos yy, chegaríamos à seguinte equação (raciocínio análogo):

Tabela Resumo da Hipérbole:

Características da Hipérbole
Centro	(0,0)	(0,0)
Equação Reduzida
Focos	F1(-c,0)   F2(c,0)	F1(0,-c)   F2(0,c)
Vértices	V1(-a,0)   V2(a,0)	V1(0,b)  V2(0,-b)
Distância Focal	2c	2c
Eixo Transverso	2a	2b
Eixo não Transverso	2b	2a
Excentricidade
Directrizes	x=±a/e	x=±b/e
Assímptotas

Translação da Hipérbole:

Para cada hipérbole podemos ainda considerar uma translação segundo o vector (a,b):

O centro da nova hipérbole é

e fazendo um racíocinio análogo

ao anterior obtém-se a equação reduzida da hipérbole:

Assim em relação à tabela anterior apenas muda:

Focos numa Paralela a OX		Focos numa paralela a OY
(±c,0)+ (a,b)	Focos	(0,±c)+ (a,b)
(±a,0)+ (a,b)	Vértices	(0,±b)+ (a,b)
	Directrizes
	Assímptotas

  Os restantes elementos não se alteram.

Hipérbole equilátera:

  Esta hipérbole tem os seus focos sobre as bissectrizes dos quadrantes pares ou ímpares, em que a=b. Logo a equação desta hipérbole é dada por:

                          

 Nota: Esta hipérbole obtém-se facilmente através de uma rotação de 45ºgraus da hipérbole de centro em O