HIPÉRBOLE

 

 

    Definição geométrica

  Como se obtém a equação reduzida da hipérbole

  Equação reduzida da hipérbole

  Tabela de resumo da hipérbole

  Translação da hipérbole

  Hipérbole equilátera

 

Definição geométrica:

         Hipérbole é o conjunto dos pontos tais que o módulo das distâncias a dois pontos fixos é menor que a distância entre eles. Aos pontos fixo dá-se o nome de focos e a constante é o comprimento do eixo transverso.

         

Como se obtém a equação reduzida da hipérbole?

          Tomemos para o nosso estudo a hipérbole com os focos sobre o eixo dos xx e centro na origem. Designemos os focos por F1, F2 e por V1, V2 os seus vértices, assim:

F1(-c,0)           F2(c,0)

V1(-a,0)           V2(a,0)

       Então da definição de hipérbole (P(x,y) ponto sobre a hipérbole) vem:

           

Equação Vectorial

Portanto:

Elevando duas vezes ambos os membros ao quadrado vem:

 (c2 - a2)x2 - a2y2 = a2 (c2 - a2),  ou seja,    b2x2 - a2y2 = a2b2,   b2=c2-a2    

Como por definição temos 2c > 2a ou seja c > a,

Dividindo tudo por a2b2 vem:

   Equação reduzida da hipérbole

Da mesma forma considerando os focos da hipérbole sobre o eixo dos yy, chegaríamos à seguinte equação (raciocínio análogo):

 

Tabela Resumo da Hipérbole:

 

Características da Hipérbole
Centro (0,0) (0,0)
Equação Reduzida

 

 

Focos

F1(-c,0)   F2(c,0)

  F1(0,-c)   F2(0,c)
Vértices

V1(-a,0)   V2(a,0) 

V1(0,b)  V2(0,-b)  

Distância Focal 2c 2c
Eixo Transverso 2a 2b
Eixo não Transverso 2b 2a
Excentricidade

 

 

Directrizes x=±a/e x=±b/e
Assímptotas

 

 

Translação da Hipérbole:

 

Para cada hipérbole podemos ainda considerar uma translação segundo o vector (a,b):

 

 

O centro da nova hipérbole é e fazendo um racíocinio análogo
ao anterior obtém-se a equação reduzida da hipérbole:


Assim em relação à tabela anterior apenas muda:

Focos numa Paralela a OX Focos numa paralela a OY

(±c,0)+ (a,b)  

Focos

   (0,±c)+ (a,b)      

(±a,0)+ (a,b)  

Vértices

(0,±b)+ (a,b)  

 

Directrizes

 

    Assímptotas

      

  Os restantes elementos não se alteram.

Hipérbole equilátera:

  Esta hipérbole tem os seus focos sobre as bissectrizes dos quadrantes pares ou ímpares, em que a=b. Logo a equação desta hipérbole é dada por:

                          

 Nota: Esta hipérbole obtém-se facilmente através de uma rotação de 45ºgraus da hipérbole de centro em O