PARÁBOLA

  Definição Geométrica

  Como se obtém a equação reduzida da parábola

  Equação reduzida da parábola

  Tabela resumo da parábola

  Translação da parábola

Definição Geométrica:

Parábola é o conjunto de pontos do plano equidistantes a um ponto fixo e a uma recta, que não contém o ponto.

Ao ponto fixo chama-se foco e à recta chama-se directriz da parábola.

 Como se obtém a equação reduzida da parábola:

  Vamos obter a equação da parábola em que o foco está sobre o eixo dos yy, o seu vértice é (0,0) e a directriz é paralela ao eixo dos xx.

  Temos que a distância entre a origem e o foco é igual à distância entre a origem e a directriz.

  Designando por p a distância entre o foco e a directriz, temos que:

F(0,p/2) e a equação da directriz é  y=-p/2

  Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola, então:

  Sendo D o pé da perpendicularidade baixa da recta que passa por P e é perpendicular a d₁ (directriz).

  Portanto D(x,-p/2), assim pela definição de parábola vem:

                                          

  Elevando ambos os membros ao quadrado e simplificando vem:

Equação reduzida da parábola

x2 = 2yp

  Utilizando raciocínios análogos chegaríamos as equações das restantes   parábolas:

x² = -2yp               y² =  2xp           y² = -2xp   

Tabela Resumo da Parábola  

Características da Parábola
Equação	x2 = 2yp	x2 = -2yp
Focos	(0,p/2)	(0,-p/2)
Directriz	y=-p/2	y=p/2
Excentricidade	e=1	e=1
Características da Parábola
Equação	y2 =  2xp	y2 = -2xp
Focos	(p/2,0)	(-p/2,0)
Directriz	x=-p/2	x=p/2
Excentricidade	e=1	e=1

Translação da Parábola:  

Para cada uma das parábolas, podemos considerar uma translação segundo um vector (x₁,y₁)

O seu vértice vai passar a ser (x₁,y₁) e raciocinando de forma análoga à que utilizamos para obter a primeira equação, chegaríamos à seguinte equação reduzida da parábola:

  (x-x₁)²= 2p(y-y₁)

Sistematizando numa tabela vem: