PARÁBOLA

  Definição Geométrica

  Como se obtém a equação reduzida da parábola

  Equação reduzida da parábola

  Tabela resumo da parábola

  Translação da parábola

 

Definição Geométrica:

Parábola é o conjunto de pontos do plano equidistantes a um ponto fixo e a uma recta, que não contém o ponto.

Ao ponto fixo chama-se foco e à recta chama-se directriz da parábola.

 

 Como se obtém a equação reduzida da parábola:

  Vamos obter a equação da parábola em que o foco está sobre o eixo dos yy, o seu vértice é (0,0) e a directriz é paralela ao eixo dos xx.

  Temos que a distância entre a origem e o foco é igual à distância entre a origem e a directriz.


  Designando por p a distância entre o foco e a directriz, temos que:

F(0,p/2) e a equação da directriz é  y=-p/2


  Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola, então:



  Sendo D o pé da perpendicularidade baixa da recta que passa por P e é perpendicular a d1 (directriz).

  Portanto D(x,-p/2), assim pela definição de parábola vem:

                                          

  Elevando ambos os membros ao quadrado e simplificando vem:

Equação reduzida da parábola x2 = 2yp


  Utilizando raciocínios análogos chegaríamos as equações das restantes   parábolas:

x2 = -2yp               y2 =  2xp           y2 = -2xp   

 

Tabela Resumo da Parábola  

Características da Parábola

 

Equação  

x2 = 2yp

x2 = -2yp    

Focos

(0,p/2) (0,-p/2)
Directriz   y=-p/2 y=p/2

Excentricidade

e=1 e=1
Características da Parábola

Equação

y2 =  2xp

y2 = -2xp  

Focos

(p/2,0) (-p/2,0)
Directriz   x=-p/2 x=p/2

Excentricidade

e=1 e=1

 

Translação da Parábola:  

Para cada uma das parábolas, podemos considerar uma translação segundo um vector (x1,y1)

 

 

O seu vértice vai passar a ser (x1,y1) e raciocinando de forma análoga à que utilizamos para obter a primeira equação, chegaríamos à seguinte equação reduzida da parábola:

  (x-x1)2= 2p(y-y1)

Sistematizando numa tabela vem:

Equação   (x-x1)2= 2p(y-y1)     (x-x1)2= -2p(y-y1)
Focos   (0,p/2)+(x1,y1) (0,-p/2)+(x1,y1)
Directriz

 y-y1= - p/2  

y-y1 p/2 

Excentricidade e=1 e=1
Equação     (y-y1)2= 2p(x-x1)   (y-y1)2= -2p(x-x1)
Focos (p/2,0)+(x1,y1) (-p/2,0)+(x1,y1)
Directriz   x-x1= - p/2

x-x1 p/2   

Excentricidade

e=1 e=1