Teorema

EUCLIDES
(330-290 a.c.)

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Euclides foi um dos mais famosos matemáticos da antiguidade e mesmo de todos os tempos. Viveu entre 330 e 290 a.c. e a ele se devem inúmeras conquistas no domínio da Matemática. Trabalhou em Alexandria, sendo o primeiro director da escola de Alexandria.
É descrito como homem afável e modesto, cheio de benevolência para todos os que prometessem fomentar a matemática, cheio de admiração para com os seus antecessores.
As matemáticas gregas tiveram o seu apogeu durante o período helenístico (nome que é dado à época que se seguiu à morte de

Alexandre), mas as suas origens remontam a "alguns" anos antes. Um dos mais importantes e difíceis problemas que pesam sobre os historiadores das matemáticas gregas é estabelecer o que ocorreu antes de Euclides, porque à excepção de um insignificante trabalho sobre astronomia de um certo autor nenhum texto completo das matemáticas desse período chegou até nós.

Euclides foi o autor de uma obra notável, intitulada "Os Elementos de Euclides", o mais antigo manuscrito conhecido na sua totalidade, e é mesmo a natureza deste admirável trabalho, que nos aclarará o que possa ter sucedido nesse período de tempo.

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Conseguiu incorporar nesta obra toda a sua bagagem de conhecimentos matemáticos acumulados por todos os seus predecessores, com o mérito de uma boa preparação e apresentação. Segundo Proclo, os predecessores "demonstraram muita coisa sem o rigor necessário", e que Euclides "o havia feito com demonstrações irrefutáveis". Para Proclo a sua obra distingue-se pelo seu rigor matemático.
A partir do dia do seu aparecimento, "Os Elementos" tornaram-se o manual clássico da geometria. Geração sobre geração estudou neste livro.

Sábios como Newton, Pascal, Decartes, Lagrange designaram-no como o melhor livro. Lagrange disse:

"Estudar geometria sem conhecer Euclides seria o mesmo que estudar Latim ou Grego com base nos livros novos, que vêm escritos nestas línguas, sem recorrer, porém, aos textos originais."

Foi transcrito para várias cópias, e assim chegou até nós.

CONTEÚDO DOS "ELEMENTOS"

Os elementos de Euclides estão divididos em 13 livros. Qual o aspecto fundamental da sua obra? O que a tornou imortal? Euclides lança uma série de 23 definições, 5 postulados e 9 axiomas que são aceites como válidos.Nestas 23 definições, Euclides explica o que entende por ponto, linha, superfície, ângulo, segmento e proporção. Os três primeiros dos cinco postulados dizem: é possível unir dois pontos por uma recta, prolongar uma recta limitada e traçar uma circunferência em torno de qualquer ponto e com qualquer raio. O quarto postulado revela que todos os ângulos são rectos e o quinto é o famoso postulado das paralelas.
As hipóteses fundamentais foram construidas passo a passo. Na perspectiva de Paul Karlson, a leitura deste manual conduz -nos a noções cada vez mais elevadas, a teoremas de crescente complexidade matemática. Euclides não se cansa de mostrar que todos estes conhecimentos, difíceis, são redutíveis aos postulados primitivos.
Expõe o problema que pretende estudar, seguido da tese. Utiliza a construção geométrica nas suas demonstrações. Todo o teorema termina com a célebre frase:

"Como queríamos demonstrar "

Demonstração do Teorema de Pitágoras

A demonstração do Teorema de Pitágoras elaborada por Euclides é um exemplo do seu estílo matemático. Nesta demonstração Euclides socorre-se do seguinte teorema: A área de um triângulo é igual à metade da área de um paralelogramo com a mesma base e a mesma altura.

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Para o demonstrar, Euclides, primeiro, prova que em todo o triângulo rectângulo o quadrado construído sobre um cateto é igual ao rectângulo que tem por lados a hipotenusa e a projecção, sobre esta, do cateto em questão.

Demonstração:

Considere-se o triângulo rectângulo [ABC]. Construa-se sobre o cateto AC o quadrado [ACDE]. Tracem-se FG = AH = AB, BD é uma recta já que os ângulos ACB e ACD são cada um igual a 90º(ver a próxima figura).

Ligando-se E a A e H a C obtem-se:

(repare-se que EA = CA; AB = AH;

Por outro lado,,

pois ambos possuem a mesma base e se encontram entre as paralelas EA e DB.Verifica-se também que

ambos possuem a base AH e CG.

Portanto,

1/2 EACD = 1/2 AHFG

logo EACD = AHFG, como queríamos demonstrar. Com isto o Teorema de Pitágoras é facilmente demonstrável, pois temos

ACDE = AHGF e BCKL = BFGJ,

o que dá

ACDE + BCKL = AHJB.

NO REINO DOS NÚMEROS

Euclides vai demonstrar o seguinte teorema:

Teorema: O número é irracional.

Demonstração:

Para provar este teorema Euclides aplicou o Método de redução ao absurdo, que consiste em supor certo o contrário do que afirmamos no teorema para chegar a uma contradição.

Suponhamos então que não é um número irracional, ou seja, que é racional e que se escreve como fracção irredutível (que não se pode simplificar mais, logo p e q são números primos). Tem-se:

formula_eucl1.bmp (9846 bytes) com p e q inteiros

formula_eucl.bmp (40854 bytes)

Como p² é um número par, implica que p também o é, pois o quadrado de um número impar é impar e o quadrado de um número par é par. Como p é um número par, ele é um múltiplo de 2, p = 2m,com m um número inteiro.
Se agora substituirmos na igualdade p² = q².2 tem-se:

Como q² é par e q também temos q=2n com n um número inteiro, logo a fracção irredutível inicial fica

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que se pode reduzir ao contrário do que se havia suposto no princípio. Conclui-se que não pode ser um número racional.

Algoritmo de Euclides

Euclides utilizou um método para o cálculo do máximo divisor comum (m.d.c.) de dois números que ficou conhecido precisamente por algoritmo de Euclides.
Este método é em muitas situações mais prático de utilizar do que o método da intersecção dos conjuntos de divisores e do método da decomposição em factores primos. Além disso, é muito mais simples de traduzir por um programa de computador.

Para cálcular o m.d.c.de 33 e 48:

1) Divide-se o maior número pelo outro.

48 ÷ 33 dá 1, resto 15

O resto não é zero.

2) O divisor passa a dividendo, o resto passa a divisor e divide-se de novo.

33 ÷ 15 dá 2, resto 3

3) Como o resto não é zero, repete-se novamente 2)

15 ÷ 3 dá 5, resto 0

Agora, finalmente, a divisão não deixou resto; e o último resto diferente de 0 é o máximo divisor comum.

Sejam a e b dois números, com a > b. Tem-se:

a : b = q₀ , resto r₁ , isto é a - q₀b = r₁

b : r₁ = q₁ , resto r₂ , isto é b - q₁r₁ = r₂

r₁ : r₂ = q₂ , resto r₃ , isto é r₁ - q₂r₂ = r₃

..............................................................

r_n-2 : r_n-1 = q_n-1 , resto r_n , isto é r_n-2 - q_n-1r_n-1 = r_n

r_n-1 : r_n = q_n , resto 0 , isto é r_n-1 - q_nr_n = 0

O número r_n será o máximo divisor comum de a e b.