Representação Geométrica dos Números

 

 

É possível escrever números utilizando grupos de sinais iguais entre si, tantas quantas são as unidades do número. Por exemplo, nos dados os números são representados por pontos ou circulos.
A representação dos números com pontos foi antigamente uma ciência: a ciência dos números figurados dos pitagóricos. Os pitagóricos chamavam aos números: triângulares, quadrados, cubos, etc., consoante os pontos que os representavam, regularmente distribuídos, se podiam compôr um triângulo «isósceles», um quadrado ou um cubo.
Alguns raciocínios dos pitagóricos aparecem ligados ao conceito de séries numéricas, dos quais veremos alguns exemplos.

 

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 NÚMEROS TRIÂNGULARES

 

Em ligação com a geometria, Pitágoras conheceu os números triângulares, que são números que se podem expressar em forma de triângulos.

 

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Quais seriam os três números seguintes?

 

Se olharmos para o quarto triângulo verifica-se que cada "linha" contém um ponto a mais que a anterior.
Suponhamos então  que a última "linha" do triângulo não continha quatro pontos mas n. A penúltima "linha" continha (n-1), a seguinte (n-2), e assim por diante até chegar ao vértice, com 1 ponto. Este problema é o mesmo que somar os primeiros n números inteiros, ou seja, obter a soma

                  1 + 2 + 3 + 4 + ... +(n-2) + (n-1) + n

Trata-se portanto de calcular esta soma.

 

 
imagem29.gif (954 bytes) NÚMEROS QUADRADOS

 

Os números quadrados, da mesma forma que os anteriores, são números que se podem expressar em forma de quadrados como se pode ver na figura seguinte.

 

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Quais seriam os três números seguintes?

 

Vamos expor, de seguida, o método pitagórico utilizado para identificar qual o número que representa cada um dos quadrados (como se pode ver na figura anterior).
Segundo o autor Paul Karlson, os números são representados por áreas, sendo o 1 igual ao pequeno quadrado, de lado arbitrário, reproduzido na figura seguinte.

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O número 3 será então representado por três destes quadrados elementares, dispostos em ângulo recto, que vamos justapor. Observando a figura verifica-se que o primeiro quadrado completa esta figura em ângulo - que os gregos denominaram por "gnomon"-de modo a obtermos um um novo quadrado, cujo lado agora é igual a 2, tendo de área 4 (1 + 3 = 4, a soma dos dois primeiros números ímpares). Se a este quadrado adicionarmos um novo gnomon, maior, de área 5, surgirá um novo quadrado de lado 3 e área 9 (1 + 3 + 5 = 9, a soma dos primeiro três números ímpares). E assim sucessivamente.Todo o número ímpar é representado por um gnomon que possui justamente o tamanho necessário para complementar o quadrado já existente, transformando-o num novo quadrado com o lado ampliado de uma unidade.
Em geral, se N é um número inteiro qualquer: o quadrado do número inteiro N é a soma dos primeiros N números ímpares, ou seja,

            N = 1 + 3 + 5 + ......+ (2n + 1) = (n + 1)2

 

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