Definição: Um triângulo é rectângulo quando tem um ângulo recto

(Ângulo recto- quando a medida da sua amplitude é 90º)

Definição: Num Triângulo ao lado oposto ao ângulo recto chamamos hipotenusa e aos outros dois lados catetos.

Teorema de Pitágoras: Em qualquer triângulo rectângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos

Este teorema tem despertado a curiosidade de muitos matemáticos. Ao longo dos séculos foram apresentadas várias demonstrações do teorema de Pitágoras (no livro de Loomis contam-se 370 demonstrações diferentes).
Acompanhou-nos a todos nós durante a nossa vida escolar, conhecemo-lo e muito, dos bancos de escola. Dada a sua importância no ensino, e não só, pensamos que é fundamental um professor ser conhecedor de algumas demonstrações deste teorema tão célebre. Desta forma, possibilita aos alunos o "contacto" com diferentes tipos de raciocínios mostrando-lhes que não existe um único processo de demonstração. Vamos, então, expôr algumas demonstrações.

DEMONSTRAÇÃO 1

área do trapézio = [(base maior + base menor) / 2] × altura

 =

área do trapézio = soma das áreas dos triângulos,

então

(b + c)² = 2 × bc + a²

b² + 2bc + c² = 2 × bc + a²

Þ b² + c² = a²

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a²  = b² + c² 

DEMONSTRAÇÃO 2

Este teorema foi também demonstrado por Euclides.

DEMONSTRAÇÃO 3

1º Passo:

Pitágoras considerou um triângulo rectângulo cujos os catetos medem b e c e cuja a hipotenusa mede a.

2º Passo:

Construiu em seguida um quadrado de lado igual à soma dos dois catetos do triângulo (b + c) e fez nele a repectiva decomposição.

3º Passo:

Provou que o quadrilátero [MNPQ] era um quadrado

 

 

Como? Analisemos esse quadrado.

• Os seus lados têm todos o mesmo comprimento  porque são as hipotenusas dos triângulos rectângulos.

• Os seus ângulos internos são todos rectos. Observe o ângulo M da seguinte figura:

E analogamente para os outros ângulos - N, P e Q. Desta forma, fica provado que o quadrilátero [MNPQ] é um quadrado.

DEMONSTRAÇÃO 4

Nesta demonstração repetimos os passos 1) e 2) feitos na demonstração anterior. Depois da verificação que o quadrilátero era um quadrado atendendo ao conhecimento das figuras planas tem-se:

(b + c)² = a² + 4 × (bc) ÷ 2

b² + 2bc + c² = a² + 2bc

b² + c² = a²

 

Como queriamos demonstrar.

Se quiser consultar outras demonstrações clique neste botão

 
Outras demonstrações

Podemos enunciar o teorema de Pitágoras segundo uma perspectiva geométrica, a saber:

A área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo rectângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

Ternos pitagóricos são quaisquer três números inteiros e positivos a, b e c tais que a² + b² = c².

O triângulo rectângulo de lados 3, 4 e 5, já era conhecido pelos egípcios. A propriedade  3² + 4² = 5² verifica-se, logo, a este conjunto de números (3, 4 e 5) chamamos terno pitagórico. O terno pitagórico (3, 4 e 5) chama-se primitivo pois a partir dele podem surgir outros ternos pitagóricos. Existem muitos ternos pitagóricos onde há sempre um número divisível por 3, outro por 4 e ainda outro por 5.
Há uma infinidade de ternos pitagóricos.

Muitos destes ternos pitagóricos foram encontrados por tentativas e erros. Os membros da escola Pitagórica elaboraram um método para obter ternos pitagóricos. Observe-se a seguinte tabela:

Sejam a e b as medidas dos catetos e c da hipotenusa 

Sejam m e n dois        números inteiros tais que um é menor que o outro (m >n ou n < m)