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Recordemos algumas noções:

Definição: Um triângulo é rectângulo quando tem um ângulo recto

(Ângulo recto- quando a medida da sua amplitude é 90º)

Definição: Num Triângulo ao lado oposto ao ângulo recto chamamos hipotenusa e aos outros dois lados catetos.

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Teorema de Pitágoras: Em qualquer triângulo rectângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos

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Este teorema tem despertado a curiosidade de muitos matemáticos. Ao longo dos séculos foram apresentadas várias demonstrações do teorema de Pitágoras (no livro de Loomis contam-se 370 demonstrações diferentes).
Acompanhou-nos a todos nós durante a nossa vida escolar, conhecemo-lo e muito, dos bancos de escola. Dada a sua importância no ensino, e não só, pensamos que é fundamental um professor ser conhecedor de algumas demonstrações deste teorema tão célebre. Desta forma, possibilita aos alunos o "contacto" com diferentes tipos de raciocínios mostrando-lhes que não existe um único processo de demonstração. Vamos, então, expôr algumas demonstrações.

 

DEMONSTRAÇÃO 1

 

Esta demonstração foi elaborada por James Abram Garfield, um general que foi eleito presidente dos Estados Unidos por quatro meses (assassinado em 1881). James Garfield gostava muito de Matemática. Sua prova foi baseada numa figura, o trapézio, formada por três triângulos rectângulos.

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área do trapézio = [(base maior + base menor) / 2] × altura

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área do trapézio = soma das áreas dos triângulos,

então

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(b + c)2 = 2 × bc + a2

b2 + 2bc + c2 = 2 × bc + a2

Þ b2 + c2 = a2

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a2  = b2 + c2 

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DEMONSTRAÇÃO 2

 

Este teorema foi também demonstrado por Euclides.

 

DEMONSTRAÇÃO 3

 

1º Passo:

Pitágoras considerou um triângulo rectângulo cujos os catetos medem b e c e cuja a hipotenusa mede a.

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2º Passo:

Construiu em seguida um quadrado de lado igual à soma dos dois catetos do triângulo (b + c) e fez nele a repectiva decomposição.

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3º Passo:

Provou que o quadrilátero [MNPQ] era um quadrado

 

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Como? Analisemos esse quadrado.

  • Os seus lados têm todos o mesmo comprimento  porque são as hipotenusas dos triângulos rectângulos.

  • Os seus ângulos internos são todos rectos. Observe o ângulo M da seguinte figura:

 

 

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E analogamente para os outros ângulos - N, P e Q. Desta forma, fica provado que o quadrilátero [MNPQ] é um quadrado.

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Vejamos agora como é que Pitágoras comprovou a sua demonstração. A demonstração resulta do confronto da primeira figura com a que se segue, compondo as peças do quadrado de uma outra forma.

 

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Pitágoras nesta demonstração partiu da hipótese (um triângulo rectângulo qualquer) e chegou à tese (a2 = b2 + c2)

 

DEMONSTRAÇÃO 4

 

Nesta demonstração repetimos os passos 1) e 2) feitos na demonstração anterior. Depois da verificação que o quadrilátero era um quadrado atendendo ao conhecimento das figuras planas tem-se:

 

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(b + c)2 = a2 + 4 × (bc) ÷ 2

b2 + 2bc + c2 = a2 + 2bc

b2 + c2 = a2

 

Como queriamos demonstrar.

 

Se quiser consultar outras demonstrações clique neste botão

 

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Outras demonstrações

 

Podemos enunciar o teorema de Pitágoras segundo uma perspectiva geométrica, a saber:

A área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo rectângulo é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.

 

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Ternos pitagóricos são quaisquer três números inteiros e positivos a, b e c tais que a2 + b2 = c2.

O triângulo rectângulo de lados 3, 4 e 5, já era conhecido pelos egípcios. A propriedade  32 + 42 = 52 verifica-se, logo, a este conjunto de números (3, 4 e 5) chamamos terno pitagórico. O terno pitagórico (3, 4 e 5) chama-se primitivo pois a partir dele podem surgir outros ternos pitagóricos. Existem muitos ternos pitagóricos onde há sempre um número divisível por 3, outro por 4 e ainda outro por 5.
Há uma infinidade de ternos pitagóricos.

Muitos destes ternos pitagóricos foram encontrados por tentativas e erros. Os membros da escola Pitagórica elaboraram um método para obter ternos pitagóricos. Observe-se a seguinte tabela:

 

 

imagem15.gif (1537 bytes) Sejam a e b as medidas dos catetos e c da hipotenusa 

imagem15.gif (1537 bytes) Sejam m e n dois        números inteiros tais que um é menor que o outro (m >n ou n < m)

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