Os Números de Fibonacci no

Triângulo de Pascal (ou Tartaglia)

 

wpe1C.jpg (9921 bytes)





O Triângulo de Pascal é bem conhecido por todos nós. A sua importância e aplicabilidade são indiscutíveis!

Por exemplo:

 

Como encontrar os números de Fibonacci no Triângulo de Pascal?

Olhando para o Triângulo podemos reparar que a soma dos números nas diagonais é sempre um Número de Fibonacci.

 

 wpe1D.jpg (22753 bytes)

 

 

Na tentativa de visualizar melhor as diagonais em questão, façamos uma reorganização dos elementos do Triângulo de Pascal:

wpe1E.jpg (15692 bytes)

 

Assim, podemos dizer que:

 

Será magia?

 

Este é de facto um triângulo mágico!

Em todo o caso, atendendo à forma como o triângulo de Pascal se constrói, podemos perceber porque é que a soma dos números das suas diagonais é um número de Fibonacci.

wpe1B.jpg (15174 bytes)

Assim, os números que constituem as diagonais do Triângulo resultam da soma de outros dois, como já referimos.

wpe19.jpg (27116 bytes)

 

Os números vermelhos constituem uma diagonal e os números verdes constituem a diagonal seguinte.

A soma dos números vermelhos é 8 e a soma dos números verdes é 13.

Como a soma de todos os números do Triângulo de Pascal são construódas da mesma forma (como já referimos), então podemos constatar que cada número azul resulta da soma de um número vermelho com um número verde. E mais, são usados todos os números vermelhos e todos os números verdes para obter todos os números azuís.

Assim, somar todos os números azuís é o mesmo que somar todos os vermelhos com todos os verdes. No nosso exemplo, 21=8+13.

Concuindo, a soma dos números de uma diagonal é a soma dos números das duas diagonais anteriores.

Generalizando:

Seja Dn a soma da n-ésima diagonal do Triângulo de Pascal. Então, pelo que foi dito atrás, Dn = Dn-1 + Dn-2 .

Como D1 = 1, D2 = 1 e Dn = Dn-1 + Dn-2 então estamos perante a definição por recorrência da sucessão de Fibonacci, pois Dn representa um número de Fibonacci, qualquer que seja n Î IN, pelo que a soma de todos os elementos de duas diagonais consecutivas no Triângulo de Pascal é um número de Fibonacci.

 

wpeB.jpg (4505 bytes)