Sucessões de números reais
Sucessões de números reais |
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definição - exemplos - sucessão definida por recorrência - sucessão de Fibonacci - actividades
| Nota histórica: O termo «sucessão» está relacionado com conjuntos de objectos dispostos numa dada ordem. Na antiguidade, os Matemáticos gregos dedicaram-se ao estudo das propriedades de sequências numéricas associadas a sequências geométricas como os números poligonais triangulares, quadrados perfeitos, pentagonais, etc. Uma outra sucessão histórica é a sucessão de Fibonacci, que foi apresentada por Leonardo de Pisa, cerca de 1175-1250, esta sucessão foi motivada pelos processos hereditários nos coelhos. |
Definição:
Uma sucessão
em IR ou uma sucessão real é uma aplicação f definida de IN em IR, que a cada
nÎIN faz corresponder f(n)=xn Î IR
xn é o elemento da
sucessão de ordem n
{x1, x2, ..., xn} é o conjunto dos termos da sucessão.
xn=n ® os termos da sucessão são 1, 2, 3, 4, 5, ...
xn=n2® os termos da sucessão são 1, 4, 9, 16, 25, ...
xn=2n® os termos da sucessão são 2, 4, 6, 8, 10, ...
Sucessão definida por recorrência
Uma sucessão diz-se definida por recorrência quando são dados o primeiro, ou os primeiros termos, e os seguintes são obtidos à custa dos anteriores.
Exemplo
u1= 2
un= 3un-1+4, n > 1.
Esta sucessão surgiu com o problema inicial dos coelhos e, é também definida por recorrência.
Define-se por:
F1= 1
F2= 1
Fn= Fn-1+Fn-2 , n > 2.
Problema dos coelhos:
| Num pátio fechado coloca-se um casal de coelhos. Supondo que em cada mês, a partir do segundo mês de vida, cada casal dá origem a um novo casal de coelhos, ao fim de um ano, quantos casais de coelhos estão no pátio? |
Esquematizando:
meses n |
casais adultos |
casais jovens |
total Fn |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 1 | 1 | 2 |
| 4 | 2 | 1 | 3 |
| 5 | 3 | 2 | 5 |
| 6 | 5 | 3 | 8 |
| ... | .. | .. | ... |
| n | =Fn-1 | = Fn-2 | Fn-1+Fn-2 |
Ou seja, no mês n temos Fn-1 casais adultos e Fn-2 casais jovens. Temos então Fn-1+Fn-2 casais. De facto, o número de casais no mês n é igual à soma do número de casais do mês n-1 com o número de casais jovens do mês n.
Constroi uma tabela semelhante à apresentada acima, e preenche-a até n=15. Observa e regista propriedades.
| 5 = 2+1+1+1 8 = 3+2+1+1+1 13 =5+3+2+1+1+1 21 =8+5+3+2+1+1+1 34 =13+8+5+3+2+1+1+1 |
Consegues generalizar esta propriedade?
