Aplicações

    1. Thales de Mileto, matemático grego que viveu aproximadamente 600 anos a.C. aplicou os seus conhecimentos sobre triângulos semelhantes à determinação da altura da pirâmide de Keops, no Egipto.

    Fixou um pau na vertical e esperou que a sombra tivesse o mesmo comprimento que o pau. Então afirmou que o comprimento da sombra mais metade do lado da base seria igual à altura da pirâmide.

Um sacerdote egípcio perguntou a Thales como procederia para calcular a altura da pirâmide de Keops.
Thales terá respondido:
"Espetava na areia esta ou outra estaca qualquer, cujo comprimento conhecesse, e media a sua sombra. Media também, à mesma hora, a sombra da pirâmide e adicionava-lhe metade do comprimento do lado da base. E pronto, em seguida saberia a altura da pirâmide".

Para pensar...

    Em que se basearia o raciocínio de Thales?
Por que razão é importante medir as sombras à mesma hora e é irrelevante o comprimento da estaca?

    2. Altura das nuvens, à noite

     Há dois tipos de licenças para pilotos de aviação: as que permitem voar em aeronaves dotadas de instrumentos adequados, mesmo quando a visibilidade é restrita, e aquelas que apenas permitem a navegação "à vista", isto é, quando a altura das nuvens é de 1000 pés ou mais e a visibilidade no solo é igual ou superior a 2 milhas. Durante o dia, a visibilidade no solo e a altura das nuvens pode ser determinada com facilidade por uns olhos experientes. À noite a visibilidade no solo determina-se recorrendo a focos luminosos ou outros pontos de referência à volta do aeroporto. A altura das nuvens é determinada, à noite, da forma que a seguir se descreve:

    Um observador está estacionado a 1000 pés de um foco de luz proveniente de um reflector parabólico.
    Este foco é dirigido para as nuvens segundo um ângulo constante de 70º.
    O observador mede, então, a amplitude do ângulo q determinado pela reflexão dos raios luminosos nas nuvens.
    Determinado o valor de q, a altura das nuvens pode ser calculada do seguinte modo:

h/x = tg 70º <=> x = h/tg 70º  e, por outro lado,
h/y = tg qº <=> y = h/tg qº

    Adicionando as duas igualdades anteriores, obtemos:

x+y = h/tg 70º + h/tg qº <=> x+y = h(1/tg 70º + 1/tg qº) <=> x+y = h[(tg qº + tg 70º)/(tg 70ºtgqº)]

donde, como x+y = 1000 pés, a expressão final da altura das nuvens é:

h = 1000.[(tg 70º.tg qº)/(tg 70º + tg qº)]