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Alguma Teoria ...

Teorema de Pitágoras:

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O segredo todo desta prova do Teorema de Pitágoras reside no paralelogramo colorido na figura. A partir de um triângulo rectângulo qualquer, traçam-se quadrados adjacentes a cada um dos lados. Evidentemente, o lado de cada quadrado corresponde a cada um dos catetos e à hipotenusa.

A seguir, traça-se uma paralela à hipotenusa passando pelo centro do quadrado do cateto maior. A intersecção desse segmento de recta com os lados opostos desse quadrado determina o paralelogramo colorido de cinzento.

Pelo centro do mesmo quadrado, traça-se a seguir uma perpendicular ao lado maior do paraalelogramo obtido. Com isso, a área do quadrado do cateto é dividida em quatro trapézios rectângulos iguais, portanto de mesma área.

Se os quatro trapézios rectângulos iguais obtidos forem arranjados como mostrado no quadrado cujo lado é a hipotenusa do triângulo, sobra uma área que é exactamente um quadrado. O lado desse quadrado é exactamente igual à diferença entre o lado "a" e o lado "c" de cada trapézio rectângulo, diferença essa que por sua vez é exactamente igual ao quadrado do cateto menor, marcado "b" (a sombreado na figura).

Resultado: A soma dos quadrados (pelas suas áreas) dos catetos do triângulo rectângulo é igual ao quadrado ( pela sua área) da hipotenusa do mesmo triângulo,quod erat demonstrandum!

Razões Trigonométricas num Triângulo Rectângulo:

No 9ºano deverão ter sido estudadas algumas das relações trigonométricas essenciais para a compreensão das que serão dadas este ano, nomeadamente as Razões Trigonométricas Num Triângulo Rectângulo.

Fazendo um breve resumo, temos:

Sena=

Cosa=

tga=

Demonstração:

Consideremos o triângulo [ABC] rectângulo em A.

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Pelo teorema anteriormente demonstrado de forma mais simplificada, isto é, pelo TEOREMA DE PITÁGORAS temos:b²+c²=a² donde +=1. Ora sena = e cosa = logo:

sen²a +cos²a =1

FÓRMULA FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA

É fácil deduzir desta as seguintes fórmulas:

sen²a=1-cos²a

cos²a =1- sen²a

Dividindo por cos²a e recordando que

=tga

Temos:

tg²a +1=

Análogamente, dividindo por sen²a e dado que

cotga =

Obtemos:

1+cotg²a =

As fórmulas anteriores são consideradas as fórmulas básicas da Trigonometria e permitem deduzir, sem que recorramos ao auxílio de tabelas e/ou máquinas de calcular, os valores exactos de todas as razões trigonométricas de um ângulo, desde que se conheça uma delas.

As relações anteriores não dependem do tamanho dos triângulos, isto é, do comprimento dos lados, mas apenas do ângulo a como se prova a seguir.

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b'

Tendo os mesmos ângulos, o triângulo mais pequeno é semelhante ao tirângulo grande; e em triângulos semelhantes os lados correspondentes são proporcionais, logo:

sena== cosa== tga==