A SUCESSÃO DE FIBONACCI 



 

        Neste problema introduzem-se os NÚMEROS DE FIBONACCI, assim chamados pelo matemático francês Édouard Lucas porque surgiram pela primeira vez relacionados com um problema famoso, o PROBLEMA DOS COELHOS, que foi formulado e estudado por um grande matemático da Idade Média, Leonardo  Fibonacci de Pisa (1175 - 1230), e que se encontra no livro Liber Abacci publicado em 1202. Os primeiros números de Fibonacci são

          1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...

          Para n >2, o n-ésimo número de Fibonacci, que se pode denotar por Fn, pode ser obtido como a soma dos dois números de Fibonacci imediatamente anteriores :

   Fn = Fn-1 + Fn-2.

       Assim sendo, a sucessão de Fibonacci F1, F2, ..., Fn, ... satisfaz a relação de recorrência

   xn = xn-1 + xn-2

e está sujeita a duas condições iniciais: x1 = 1 e x2 = 1. A expressão geral do n-ésimo número de Fibonacci Fn foi determinada pelo matemático francês Jacques-Philipe-Marie Binet (1786 - 1856) e, por isso, é conhecida pela FÓRMULA DE BINET:

 
Fn = 5-1/2 [ ((1+51/2)/2)n-((1-51/2)/2)n]
 

Esta fórmula foi também obtida independentemente pelos matemáticos Moivre (1667 - 1754) e por D. Bernoulli (1700 - 1782). Os números de Fibonacci revelaram-se de tal modo importantes e motivaram tanta investigação matemática que, em 1963, o matemático americano Verner E. Hoggatt, Jr. criou na Universidade de Santa Clara, na Califórnia, uma associação, a Associação de Fibonacci, com o objectivo de divulgar e promover trabalhos de investigação sobre os números de Fibonacci. Estes números podem encontrar-se em diversas áreas da matemática: Geometria, Teoria dos números, Combinatória, Álgebra Linear. Análise Numérica, Probabilidades e Estatística e de outras ciências como sejam: Biologia, Química, Física, Engenharia, entre outras.

 

O PROBLEMA DOS COELHOS

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 Um explorador deixou um par de coelhos bebés numa ilha. Quantos pares de coelhos existem na ilha ao fim de n meses, sabendo que:
(a)  a partir do segundo mês de vida, cada par de coelhos gera, todos os meses, um e um só par de coelhos bebés;
(b) não ocorrem mortes.



RESOLUÇÃO: Para uma mais fácil visualização do problema, consideremos os primeiros sete meses do ano e suponhamos que o primeiro casal de coelhos foi deixado na ilha em Janeiro, para crescer durante Fevereiro e poder reproduzir-se em Março:

MÊS JANEIRO FEVEREIRO MARÇO ABRIL MAIO JUNHO JULHO AGOSTO
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F`n 0 0 1 1 2 3 5 8
Fn 1 1 2 3 5 8 13 21



Neste quadro cada símbolo $ representa um casal de coelhos adultos, cada símbolo # representa um casal de coelhos bebés, F´n e Fn designam, respectivamente, o número de casais nascidos e o número total de casais existentes no n-ésimo mês. Da simples observação do quadro pode-se constatar que

                                         Fn = F´n+2.

Pelo menos para n<7 . Esse facto deve-se a que, em determinado mês, cada coelho bebé só poderá ter sido gerado por um casal existente dois meses antes. E, também por essa razão, a igualdade indicada é válida para qualquer número natural n. Ora, também é fácil ver que, para qualquer n >4, o número de coelhos existentes no n-ésimo mês é a soma de todos os coelhos existentes no mês anterior, isto é Fn-1, com o número de coelhos nascidos nesse mês, isto é F´n. Por conseguinte,

                                Fn = Fn-1 + F´n = Fn-1 + Fn-2

para n >4, obtendo-se assim a relação de recorrência que, conjuntamente com as condições iniciais F1=F2 =1, definem os números de Fibonacci.