Desde  as  civilizações  mais   remotas,   que  o  homem  procedeu  a  contagens,    elaborou  listas,  ordenou  números  e   quantidades.     Existem  vestígios  de  tabelas  e  problemas   envolvendo  a  ordenação,  contagem  e  determinação   de  elementos  de  uma  sequência  de  números,   que  nos  foram  legados  pelas  civilizações   Babilónica  e  Egípcia.

    Na  Grécia  Antiga,  a  Escola   Pitagórica  desenvolveu  particularmente  o  estudo  dos   números  e  criou  interessantes  sucessões  numéricas,   partindo  de  formas  geométricas  simples.  Assim   nasceram  os  números  triangulares,  quadrados,   rectangulares,  pentagonais,  hexagonais,  etc...

     Quanto  ao  conceito  de   infinitésimo,  tal  como  é  apresentado,  isto   é,  como  variável  que  tende  para  zero  em   certas  condições,  pode  parecer  hoje  uma  ideia   simples,  mas  na  verdade,  a  sua  formalização   demorou  mais  de  20  séculos,  iniciando-se  com    os  primeiros  filósofos  e  matemáticos  da   Antiguidade  Clássica.  Aliás,  no  século  V   a.C.,  quando  alguns  filósofos  atenienses  se   tornaram  partidários da  "divisão  até  ao   infinito",  surgiram  os  célebres  PARADOXOS  DE  ZENÃO  (495 - 435   a.C.)  os  quais  acabaram  por  confundir  os   filósofos  atenienses.

   Platão  conta  que  Zenão  partiu   de  Eleia,  colónia  grega  ao  sul  da   Itália,  para  visitar  Atenas  com  o  filósofo   Parménides  seu  amigo.  Introduzido  no  meio   intelectual  da  cidade,  apresentou  aos  sábios   atenienses  quatro  difíceis  problemas,  ou  paradoxos,   que  os  deixaram  desconcertados  e  sem  resposta.   Todos  eles  tinham   a  ver  com  o   movimento,  e  só  foram  devidamente  esclarecidos   24  séculos  depois  com  a  clarificação  dos   conceitos  de  "infinitésimo"  e  "limite".

    PARADOXO   DA  DICOTOMIA

    Tudo  o  que  se  move  tem   de  atingir  metade  do  trajecto  antes  de   chegar  ao  fim ; mas  antes  de  atingir  a   metade,  tem  de  chegar  ao  quarto  e  antes   de  chegar  ao  quarto,  tem  que  chegar  ao   oitavo,  e  assim  sucessivamente  até  ao  infinito   (sem  nunca  mais  acabar).  Logo,  o  movimento   não  chega  a  realizar-se,  ao  contrário  do   que  parece.  Com  este  paradoxo,  Zenão  visava   atacar  os  partidários  da  "divisão  até   ao  infinito" de  qualquer  porção  de  recta,   por  menor  que  fosse.  Mas  com  o  paradoxo   da  seta,  atacava  com  igual  habilidade  os   adeptos  da  recta  como   conjunto  de  pontos   indivisíveis :

PARADOXO  DA  SETA

   Uma  seta  lançada  de  um  arco  fica  imóvel   em  cada  instante,  pois  não  pode  ocupar   várias  posições  no  mesmo  instante,  visto  que   cada  instante  é  indivisível.  Ora  o  Tempo   é  feito  de  instantes ; como  a  seta  não   pode  mover-se  em  nenhum  instante,  ficará   sempre  imóvel !

PARADOXO  DO   ESTÁDIO

    Num  estádio  alinham-se   três  filas  de  atletas  M, P, N.  A  fila  P fica  parada  enquanto  as  outras  se  movem,   em  sentido  contrário  uma  da  outra,  com  a   mesma  rapidez.  Num  dado  instante,  M  ultrapassa   N  no  dobro  dos  atletas  que  ultrapassa  em   relação  a  P ; logo,  M  leva  o  dobro  do   tempo  a  ultrapassar  P  que  a  ultrapassar   N.  Mas,  invertendo  o  movimento,  com  a   mesma  rapidez,  leva  o  mesmo  tempo  a   igualar  P  e  a  igualar  N.  Então,  o   dobro  do  tempo  é  igual  à  respectiva   metade...  (o  que  é  que  acha  disto ?)

PARADOXO   DE  AQUILES

    Aquiles,  símbolo  da   força  e  da  agilidade,  corre  para  apanhar   uma  tartaruga (símbolo  da  lentidão) que  se  afasta   dele.  Mas  quando  chega  ao  lugar  onde   estava  a  tartaruga  já  ela  não  está  lá   porque  avançou  para  um  ponto  mais  adiante ; quando  Aquiles  chegar  a  este  novo  ponto  já   a  tartaruga  andou  um  pouco  mais  e  assim   sucessivamente,  vemos  que  Aquiles  nunca  pode    atingir  a  tartaruga,  ao  contrário  do  que   sabemos  que  acontece.

   Pouco  depois,  Eudoxo  de   Cnido (408 - 355 a.C.) já  defendia  que  se  pode   atingir  uma  grandeza  "tão  pequena  quanto   se  queira"  pela  divisão  contínua  de  uma   grandeza  dada. 
    Arquimedes (287 - 212 a.C.)  usou  empiricamente  os   infinitésimos  em  cálculos  de  áreas  e   volumes,  ultrapassando  as  discussões  entre   filosófos.
    Esta  utilização  empírica  dos  infinitésimos   foi  retomada  e  desenvolvida  no  início  do   século  XVII  pelo  frade  Bonaventura  Cavalieri,   no  cálculo  de  áreas  e  volumes  e  no   século   XVIII,  pelos  criadores  do  cálculo   infinitesimal,  Newton  e  Leibnitz.  Mas  foi  só   no  princípio  do  século XIX  que  o  matemático   francês  Augustin  Cauchy  definiu  o   conceito   de  "infinitamente  pequeno  como  uma  variável   que  tem  zero  como  limite".