A  LENDA  DO   JOGO  DE  XADREZ

    Diz  a  lenda  que   um   antigo  xá  da  Pérsia  ficou  tão   impressionado  com  o  jogo  de  xadrez,  que   ordenou  ao  seu  inventor  que  pedisse  a   recompensa  que  desejasse. 
    O  inventor  (provavelmente  um  matemático   experiente...) pediu  um  grão  de  trigo   pela   primeira  casa  do  tabuleiro  de  xadrez,  dois   grãos  pela  segunda  casa,  quatro  pela  terceira,  oito  pela   quarta,  e  assim  sucessivamente,   até  se  percorrerem  todas  as  casas  do   tabuleiro.
    Conta-se  que  o  Imperador  ficou   estupefacto,  tendo  considerado,  que  era  afrontoso   o  pedido  do  inventor  por  se  tratar  de   coisa  tão  insignificante! 
    Contudo,  o  inventor  manteve  o  pedido   e  insistiu  que  lhe  bastava  vê-lo   concretizado...

	Quantos  grãos  de  trigo  pediu,  afinal,  o   inventor do  jogo  de   xadrez?
	Supondo  que  100  grãos  pesam   uma  grama,  calcula  quantas  toneladas  de  trigo   pediu  o  sábio.
	Sabendo  que  a  produção  mundial   de  trigo  é  de  270  milhões  de  toneladas,   quantos  anos  levaria  a  terra  inteira  até   cumprir  o  pedido  do  sábio?

60 % DO  QUADRADO

   Nesta  figura,  a  área  do   primeiro  quadrado  é  1  e  o  lado  de   cada  quadrado  é  60 % do  lado  do  anterior.

	Qual  é  a  razão  entre   a  área  de  um  quadrado  e  a  do   quadrado  anterior?
	Qual  é  a  área  do   n-ésimo  quadrado?
	Qual  é  a  área   total  dos  7  quadrados?

      AQUILES  JARDINEIRO

     Vamos  apresentar  uma   adaptação  moderna  dos  paradoxos  de  Zenão. 
     Um  dia,  Aquiles  decidiu  estudar  um   novo  processo  de  cortar  a  relva  do  seu   jardim  de  maneira  a  que  cada  dia  tivesse   de  trabalhar  menos,  quase  nada  se  possível.
     Desta  forma,  estabeleceu  que  no   primeiro  dia  cortaria  um  terço  da  relva   existente  no  jardim.  No  segundo  dia,  cortaria   um  terço  de  um  terço,  no  terceiro  dia,   um  terço  de  um  terço  de  um  terço   e  assim  sucessivamente. 
     Este  processo  pode  ser  esquematizado   da  seguinte  forma:

                                   1.º dia                                              2.º dia                                      3.º dia

                                                          4.º dia                                             5.º dia

     Que  parte  do  jardim,  Aquiles   conseguirá  aparar  com  este  processo?

     TÓPICO DE RESOLUÇÃO :  Observando  o  esquema,   tudo  leva  a  crer  que  a  parte  cortada   é  praticamente  igual  à  não  cortada. 

Intuitivamente,  chega-se  à  conclusão    que  Aquiles  consegue  aparar  metade  do   jardim.  Sugerimos  que  o  tente   provar  analiticamente  recorrendo  a  uma    progressão  geométrica  de  razão  1/3  (visto   que  a  área  aparada  é  dada  por : 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 +...)

         ÁRVORES  PITAGÓRICAS

    A  partir   de  um  quadrado  qualquer,  construiu-se  a   seguinte  árvore  pitagórica: 

	Descreva  o  processo  de   construção  desta  árvore.
	Na  geração  zero,   existe  apenas  o quadrado  inicial.  Supondo  que   se  continua  a  construção:

                   Quantos  quadrados  existem   em  cada  geração?

                  Qual  é  o  número   total  de  quadrados  ao  fim  da  n-ésima   geração?

                  Qual  é  o  comprimento   do  lado  dos  quadrados  em  cada  uma  das   gerações?

                  Em  cada  geração,  qual   é  a  área  de  cada  quadrado?

                  Qual  é  a  área  total   dos  quadrados  ao  fim  da  n-ésima  geração?

    PARA  IGUALAR  A  PONTE 

    Corta  ao  meio  uma   grande  folha  de  papel  com  0,1 mm  de   espessura  e  sobrepõe  as  metades.  Volta  a   cortar  as  duas  ao  meio  e  sobrepõe  as   quatro  partes.  Torna  a  cortar  as  quatro   ao  meio  e  sobrepõe  as  8  partes  e   assim  sucessivamente.
    Quantas  vezes  terias  que  repetir  esta   operação  para  obter  uma  pilha  de  pedaços   da  altura  da  ponte  25  de  Abril  (190 metros)?

    Antes  de  fazer  o   cálculo,  que   te  parece? 20  vezes,  50   vezes,  100  vezes... mais  vezes?

    ADULTÉRIO

    Numa  aldeia  alentejana,   a  dona  Graciosa  descobriu  que  a  sua   vizinha,  D.Maria,  anda  a  enganar  o  marido   com  o  padeiro.  Ao  fim  de  dez  minutos   ela  já  contou  essa  fofoca  a  três   amigas,  e  cada  uma  por  sua  vez,  a   conta em  dez  minutos  a  outras  três  e   assim  sucessivamente.
    Sabendo  que  a  aldeia  tem  950   habitantes,  quanto  tempo   será  necessário  para   termos  certeza  que  o  marido  da  D.Maria   descobre  a  infidelidade  da  esposa?

    POTÊNCIAS

    Calcula  a  soma  das  primeiras   10  potências  de  2  de  expoente  natural.

    O  ALFAIATE

    Um  cliente  maçador  sempre   aborrecia  o  seu  alfaiate  com  pedidos   insistentes  de  descontos.  Certa  vez,  tratava-se   de  um  fato  de  25  contos,  o  alfaiate,   já  farto,  disse-lhe:
    "Pois  então  leve  o  fato  de   graça  e  pague-me  só  os  12  botões  do   casaco: 10  escudos  pelo  primeiro  botão,  20   pelo  segundo,  40  pelo  terceiro,  80  pelo   quarto  e  assim  sucessivamente..."
    Encantado,  o  cliente  aceitou  logo  o   negócio.  Quem  foi  o  espertalhão?

    Poderá  ter  interesse  pedir   aos  alunos  que  inventem  uma  variante  deste   problema  a  respeito  da  compra  de  uma   vivenda  com  20  degraus,  levando-os  a  investigar   quanto  se  deve  pedir  pelo  primeiro  degrau   para  que  o  preço  da  vivenda  seja   superior  a  40000  contos.