O PROBLEMA DOS CUBOS
Para introduzir a noção de sucessões, uma boa aposta seria recorrer a esta tarefa.
....................................................
Seguindo a mesma lógica de construção, qual o número de cubos da 6.ª, 7.ª e da 20.ª figura?
RESOLUÇÃO:
É óbvio que desenhar a 20.ª figura para
contar os seus cubos não é viável.
O melhor será tentar descobrir a regra
de construção.
De cada figura para a seguinte,
juntam-se 6 cubos. Mas para saber o número
de cubos da 20.ª figura teria-se de
conhecer o da 19.ª e voltamos a cair
num processo moroso.
O nosso objectivo será então determinar
directamente o número de cubos de qualquer
figura. Observa-se que a n-ésima figura
obtém-se aplicando (n-1) cubos em cada face
do cubo inicial, o que se traduz na
seguinte tabela :
| Figura | N.º de cubos |
| 1 | 1 |
| 2 | 1 + 6 * 1 = 7 |
| 3 | 1 + 6 * 2 = 13 |
| 4 | 1 + 6 * 3 = 19 |
| 5 | 1 + 6 * 4 = 25 |
| 6 | 1 + 6 * 5 = 31 |
| ... | |
| n | 1 + 6 * ( n-1 ) |
| ... |
e obtém-se a seguinte fórmula : 1+ 6 (n-1) =
6n-5, que permite calcular o número de cubos
de qualquer figura da sequência.
Assim, a 6.ª, a 7.ª e a 20.ª figura
têm respectivamente:
C6 = 6*6 - 5 = 31
C7 = 6*7 - 5 = 37
C20 = 6*20 - 5 = 115.
O PROBLEMA DOS TRIÂNGULOS
Observa a seguinte sequência de figuras em que a área da primeira é 1.
Escreve os quatro primeiros termos da
sequência das áreas dos triângulos sombreados.
Esta sequência é crescente ou decrescente? Porquê?
Escreve os quatro primeiros termos da sequência das áreas
das partes não sombreadas.
Esta sequência é crescente ou decrescente? Porquê?
A cada figura da seguinte sequência os gregos associavam o número de pontos que a constituiam e chamavam-lhes números triangulares.
 |
................ |
Defina a
sequência dos números triangulares por recorrência
e através do seu termo geral.
Use um processo geométrico e um
analítico para a encontrar.
Poderá ser
relevante pedir aos alunos para escreverem os
primeiros termos de outros números poligonais:
Números quadrados
|
..................... |
Números pentagonais
 |
 |
 |
 |
............ |
Qual é
a relação que existe entre as regras de
formação de todas estas sequências?
