PROBLEMA DO XADREZ                                

 
 

QUANTOS QUADRADOS EXISTEM NUM TABULEIRO DE XADREZ??

 

O professor em conjunto com os alunos poderá fazer diversas abordagens do problema consoante os objectivos que pretender atingir. Uma hipótese poderá ser recorrer à contagem directa. Provavelmente num primeiro momento os alunos dirão que são 64. Mas quando se lhes disser que a resposta não está correcta é possível que admitam ter esquecido o quadrado grande. Assim, aos poucos, irão perceber que existem muitos mais quadrados. O próximo passo será então identificar todos os tipos de quadrados existentes no tabuleiro. Além dos quadrados do tipo 1 por 1 e 8 por 8 (que devem ser os primeiros a ser identificados) existem também quadrados do tipo 2 por 2, 3 por 3, e assim sucessivamente até 7 por 7. Resta então contar quantos quadrados existem de cada um dos tipos. (O mesmo problema pode ser colocado utilizando um "tabuleiro" de menor dimensão para facilitar a visualização). Nas duas primeiras linhas de quadrados do tabuleiro temos 7 quadrados diferentes do tipo 2 por 2. De modo análogo se vê que existem 7 quadrados do tipo 2 por 2 na segunda e terceiras linhas de quadrados do tabuleiro. Temos assim 49 quadrados do tipo 2 por 2. Para contar o número de quadrados dos outros tipos pode-se raciocinar de forma perfeitamente análoga, chegando-se a :                                                

                              82 + 72 + ... + 22 + 1 = 204 quadrados

 

Outra abordagem possível poderá consistir em reduzir o problema a casos mais simples, isto é, contar quantos quadrados existem num "tabuleiro" com 1 quadrado de lado, quantos quadrados existem num "tabuleiro" com 2 quadrados de lado e assim sucessivamente, tentando com este processo descobrir alguma regularidade. Chegar-se-ia à conclusão que

                    

Tabuleiro com ... quadrados de lado Número de quadrados
1 1
2 1 + 22
3 1 + 22 + 32
...  
8 1 + 22 + ... + 82

 

 

Daqui resulta que num tabuleiro de xadrez existem

1 + 22 + 32 + ... + 72 + 82 = 204 quadrados!!

que como seria de esperar coincide com o obtido usando a primeira abordagem. Podemos agora colocar a seguinte questão :

QUANTOS QUADRADOS EXISTEM NUM "TABULEIRO" DE XADREZ DE LADO n??

Generalizando o resultado anterior, poder-se-ia responder que esse número é:                                 

que é o termo geral da sucessão que nos dá o número de quadrados existentes num "tabuleiro" de xadrez de lado n. (Este resultado pode demonstrar-se rigorosamente por indução matemática). Por construção não será difícil verificar que esta sucessão também se pode definir por recorrência do seguinte modo:

                                      

 

Tendo como ponto de partida este problema poderíamos imaginar um
outro:                            

SE   TIVERMOS  UM  SEGMENTO  DE  XADREZ, QUANTOS  SEGMENTOS LÁ   EXISTIRÃO??

(na realidade o problema é análogo ao anterior mas apenas a uma dimensão). Por um simples processo de contagem obter-se-ia:

    1 segmento de comprimento 8

    2 segmentos de comprimento 7

    3 segmentos de comprimento 6

.................

    7 segmentos de comprimento 2

    8 segmentos de comprimento 1.

 

                                   Temos portanto:

 

ou seja, a soma dos 8 primeiros termos de uma progressão aritmética de razão 1 e primeiro termo também igual a 1. Deste modo, num segmento de comprimento n teremos                              

 

que definindo por recorrência vem:                                      

 

 

E porque não imaginar um problema análogo a 3 dimensões? A questão passa a ser então

 QUANTOS CUBOS EXISTEM NUM CUBO DE XADREZ??

                                     

Neste caso já é bastantes mais complicado contar directamente quantos cubos de cada tipo existem no cubo maior. O melhor caminho a seguir neste caso será reduzir o problema a casos mais simples:

" Tabuleiro " com ... cubos de lado Número de cubos
1 1
2 1 + 23
3 1 + 23 + 33
... ...
8 1 + 23 + .. + 83
... ...
n 1 + 23 + ... + n3

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