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        2mn, n2 – m2, n2 + m2    , n > m

 

(1/2)pn ( n-1 ) – n ( n-2 )

Por exemplo, o décimo número pentagonal ( n = 10, p = 5 )

P10 = (1/2)* 5 * 10 * ( 10 – 1 ) – 10* ( 10 – 2 ) = 145.

 

O número 142857 tem seis algarismos. Quando é multiplicado por 2, qualquer coisa de interessante acontece.

142857 X 2 = 285714

Os mesmos algarismos estão no produto e na mesma ordem, mas agora o algarismo 2 precede os restantes.

142857 transforma-se em 285714

Vejamos o que acontece quando 142857 é multiplicado por outros números:

142857 X 3 = 428571

142857 X 4 = 571428

142857 X 5 = 714285

142857 X 6 = 857142

Quando 142857 é dividido por 2 e por 5, os números aparecem ainda ordenados.

142857 : 2 = 71428,5 ; 142857 : 5 = 28571,4

Quando se separa um número em dois e se somam os algarismos, o resultado é surpreendente: 142 + 857 = 999 .

Os resultados são ainda mais surpreendentes quando 142857 é somado 7 vezes ou multiplicado por 7 :

142857+ 142857+ 142857 + 142857+ 142857+ 142857+ 142857 = 999999

142857 X 7 = 999999

142857 tem sido chamado um número de carrocel porque os seus algarismos giram  sucessivamente.

 

                                             

 

 

          Com  p  primo,

         

 

A notação polaca invertida é um modo de apresentar expressões aritméticas evitando o uso de parêntesis na definição das prioridades dos operadores.

Em notação normal, temos ( 3 + 5 ) X ( 7 – 2 ) e os parêntesis indincam-nos que temos que adicionar 3 com 5, subtrair 2 de 7, e multiplicar os dois resultados obtidos. Em notação polaca, os números e os operadores são escritos em sequência e um operador actua sempre nos números mais recentes da mesma. Os números podem ser comparados a uma pilha de pratos. Os números mais recentes vão para o topo da pilha. O operador considera o número apropriado do topo da pilha e substitui-os pelo resultado da operação.

Nesta notação a expressão referida ficaria 3 5 + 7 2 – X.

Lendo da esquerda para a direita:

 

A notação polaca foi apresentada pelo filósofo e matemático polaco Jan Lucasiewicz (1878-1956) para uso na lógica simbólica. Na sua notação os operadores precedem os seus argumentos, e a expressão acima seria escrita X + 3 5 – 7 2.

A forma invertida foi contudo considerada mais conveniente do ponto de vista computacional.

(a/b) = (c/d) = (a-c)/(b-d)

dem.:

(a/b) = ad/bd = ad(b-d)/bd(b-d) = (adb - ad2) / [bd(b - d)] = [ab / b(b – d)] – [ad / b(b – d)] = [a / (b – d)] – [ad/b(b-d)] = (a – c) / (b – d)

 

 

Na antiga Grécia, o interesse pelos aspectos filosófico-científicos muitas vezes manifestava-se por parábolas. Uma muito interessante era a conhecida história de Aquiles e a tartaruga. Zenão argumentava que, partindo uma tartaruga em "corrida", e Aquiles um certo tempo depois com uma velocidade superior (por exemplo só o dobro), este nunca a apanharia, pois quando percorresse uma distância x, a tartaruga supostamente já teria percorrido, por exemplo, x/2; quando Aquiles tivesse percorrido mais x/2, a tartaruga já teria percorrido mais x/4, e por aí adiante.

Segue-se a demonstração de como o Aquiles efectivamente apanhou a tartaruga

x = 1 + ½ + ¼ + ... x – 1 = ½ + ¼ + ... 2( x-1) = 1 + ½ +1/4 + ... 2x –2 = x   x = 2

 

Vejamos um exemplo:

Sendo x = 2, 3 ( 1 4 )

1000 x = 2314,1414...

   -10 x = - 23,1414...

990 x = 2291

Û x =

Reais Frango6.gif (2770 bytes)

 

n? = , p primo

O factorial primo tem a seguinte curiosidade: lim ( n? )1/n = e

 

Ao  determinar  a  medida  do  comprimento  da   diagonal  dum  quadrado  de  lado  unitário   obtém-se

                                             

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   d2 = 12 + 12

   d2 = 2

   d =

                  

        d2 = 12 + 12 d2 = 2 d = .

 

será  um  número   racional ?

Se    é  racional pode  ser  representado  sob  a  forma  de  fracção   irredutível, isto  é, existem  dois  números  naturais   m  e n,  primos  entre  si, tais  que :

                                         = m/n

Elevando  ambos  os  membros  ao  quadrado   obtém-se :

            2 = (m/n)2

Donde, 2n2 = m2.

Então, m2 é um número par(1).

Como o quadrado de um número ímpar é sempre um número ímpar(2), o facto de m2 ser um número par permite concluir que também m é um número par e podemos fazer m = 2k ( com k inteiro ).

Substituindo em 2n2 = m2, temos,

2n2 = (2k)2 sse 2n2 = 4k2, ou seja, n2 = 2k2.

Como k é inteiro, o mesmo acontece com k2, pelo que esta igualdade significa que n2 também é um número par e, pelo que foi dito anteriormente, pode concluir-se que o mesmo acontece com n.

Deste modo conclui-se que m e n são números pares o que não pode ser pois m e n são primos entre si. Então, não é racional.

é um número irracional.

(1)  Todo o número par é multiplo de 2; daí poder ser representado por 2k, com k inteiro.

(2)  O quadrado de um número ímpar, é sempre um número ímpar, pois, sendo um número ímpar representado por 2k + 1, com k inteiro, temos (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 ( k2 + 2k ) + 1; como 2k2 + 2k é um número inteiro, por exemplo p, temos ( 2k + 1 )2 = 2p + 1 que é um número ímpar.

  Vejamos  agora  algumas constantes:

        Um problema que, na Antiguidade, os matemáticos tentaram resolver consistia em saber a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. Essa razão é referida na Bíblia, sendo considerada igual a 3. Na Babilónia usava-se a aproximação 3.( 1/8 ) e no Egipto (16/9)2. Mais tarde, Arquimedes situa-a entre 3 + 10/71 e 3 + 10/70.

        No séc. XV, um matemático árabe calculou-a com dezasseis casas decimais. Só no séc. XVIII é utilizada a letra grega pi1.gif (110 bytes) ( pi ) para a representar e só no nosso séc. foi provado que essa razão é um número irracional.

        Actualmente, o seu valor já foi calculado com um milhão de casas decimais.

                            pi1.gif (110 bytes) = 3,141592653589793238462643...

        A harmonia e consequente existência de proporção foi uma das preocupações dos artistas clássicos.

        Uma proporção geométrica conhecida e patente na pintura, escultura e arquitectura clássicas, renascentistas e pós-modernistas baseia-se no seguinte princípio : « seccionar um segmento de recta de tal forma que a parte menor esteja para a maior como este está para o todo ».

        Esta proporção é traduzida numericamente pelo número de ouro :.

= é um número irracional,

= 1,6180339887...

O número de ouro, também conhecido como razão de ouro, surge  em muitos exemplos :

- Num pentágono regular a razão entre a diagonal e um lado é igual a .

 

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               =

 

     1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 , ...

     ( o número seguinte  obtém-se adicionando  os dois imediatamente  anteriores ).

       As sucessivas razões  entre um número e o   que o antecede vão-se  aproximando do  número de ouro.

       Algumas  igualdades  curiosas   acerca  destes  números:

Fn2 – Fn+1 Fn-1 = (-1)n-1

Fn = Fn-1 + n-1

com =

 

         ei+1 = 0

          e= i-2i

?  E  depois  dos  complexos ? tartaruga.gif (11412 bytes)

        O  reconhecimento  de   que  os  números  reais  podem  ser  interpretados   como  pontos  de  uma  recta  e  os  números   complexos  como  pontos  de  um  plano, conduziu   naturalmente  a  investigações  sobre  números   hipercomplexos  que  podessem  ser  representados   por  pontos  do  espaço  tridimensional, expressões  do   tipo a + bi + cj  em  que  i   e  j  são  raízes  distintas  de  -1.

        Este  problema  obcecou   Hamilton  durante  muitos  anos, sendo  a  principal   dificuldade, a  definição  de  uma  multiplicação   comutativa  destes  ternos.

        Após  10  anos  de   reflexões  e  conjecturas, acabou  por  adoptar  como   hipercomplexos  quaternos ( em  vez  de  ternos ) da   forma

           h = a + bi + cj + dk  onde  i2 = j2 = k2 = -1

           com  a, b, c, d R

           h H, C H

        ( i, j, k  são  raízes   independentes  de  -1 )

        Estas  3  raízes   quadradas  de  -1  têm  relações  simétricas :

                    ij = k; jk = i, ki = j

                    ji = -k; kj = -i; ik = -j

        donde  ijk = -1.

       a + bi + cj + dk = 0 a = b = c = d = 0 , a, b, c, d IR

        ( a + bi + cj + dk )-1 =

        Nasciam  assim  os   quaterniões  de  Hamilton  que  obedecem  a  todas   as  propriedades  formais  do  cálculo, excepto  a   propriedade  comutativa  da  multiplicação.

        Hamilton  apresentou   aplicações  dos  quaterniões  à  física (tensores), matemática (cálculo tensorial)  e  geometria  diferencial.

   

    Mais  ainda: perguntas  de  todo  o  género   sobre  Matemática. lapis.gif (10098 bytes)

 

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