Posições relativas de rectas e planos

Este tema é complexo para os alunos, uma vez que têm grande dificuldade em perceber e visualizar os planos no espaço. Mais uma vez e porque os alunos não têm muita capacidade de abstracção, sugerimos a utilização de exemplos da vida prática, para que seja mais simples a abordagem e explicação dos temas.
Esta parte dividir-se-á em quatro partes, três conceitos básicos das posições relativas e um exercício resolvido com o auxílio do programa "Geometer Sketchpad".

1. Posições relativas de uma recta e um plano;

2. Posições relativas de duas rectas;

3. Posições relativas de dois planos;

4. Exercício com o auxílio do "Geometer Sketchpad";

1. Posições relativas de uma recta e um plano;

Para este conceito é possível arranjar, por exemplo, uma figura que ilustre um atleta a praticar salto com vara, (cf. figura 1). Temos oportunidade, através dessa figura, de visualizar as posições relativas entre os postes, a fasquia, a vara e o plano da pista.

Fig. 1

A figura, acima, é suficiente para introduzir as noções de recta perpendicular a um plano, (os postes são perpendiculares ao plano da pista), de recta paralela ao plano, (a fasquia é paralela ao plano da pista), de recta oblíqua ao plano, (a vara utilizada para o salto está numa posição oblíqua ao plano da pista) e a noção de recta contida num plano, (caso das linhas que delimitam a pista).

A partir da explicação anterior, podem-se resumir os diversos conceitos inerentes ao tema, no esquema seguinte, mostrando que relativamente a um plano uma recta pode ser:

2. Posições relativas de duas rectas;

Para abordar as noções de rectas complanares e não complanares, conceito de difícil visualização por parte dos alunos, é necessário recorrer a um modelo. Para escolher o modelo nada melhor que considerar sólidos que já foram explorados pelos alunos, uma vez que terão maior facilidade em ver, na prática, os conceitos.
Por exemplo, considerando um cubo, que pode ser representado por uma caixa de cartão e fazendo passar fios pelas arestas simbolizando rectas, pode-se fazer notar que as arestas que constituem a base do cubo são complanares, mas que qualquer aresta perpendicular à base do cubo não será  complanar com as arestas que a constituem.
A noção de que duas rectas complanares distintas poderem ocupar diferentes posições relativas, também deve ser abordada recorrendo a um modelo. Por exemplo, utilizando uma peça que se assemelhe ao telhado de uma casa e fazendo o desenho do esqueleto da figura, ( cf. figura 2 ), é possível explicar que :

                                       Fig. 2

• as rectas r e v são concorrentes, têm um ponto em comum e como contêm dois lados consecutivos de um triângulo são oblíquas;
  

• as rectas E e r são concorrentes no mesmo ponto e contêm dois lados consecutivos de um rectângulo, pelo que se chamam perpendiculares;
  

• as rectas u e w contêm dois lados opostos de um rectângulo pelo que são paralelas;
  

Posto isto, é introduzido o esquema seguinte, que mostra que duas rectas distintas e complanares podem ocupar as posições relativas:

Através da figura 2, também é possivel mostrar que duas rectas perpendiculares fazem, entre si, quatro ângulos iguais e que o mesmo não acontece quando as rectas são oblíquas.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

3. Posições relativas de dois planos;

Utilizando uma imagem conveniente, (cf. figura 3), é possível apreciar  as diversas posições relativas que dois planos podem ocupar:

                                                     Fig. 3

• os planos a e b contêm duas faces opostas do prisma e são neste caso paralelos;
  

• os planos que contêm duas faces consecutivas são concorrentes e neste caso oblíquos;
  

• o plano de uma face é perpendicular ao plano de cada uma das bases.

Posto isto, o esquema seguinte está introduzido e mostra que dois planos distintos podem ocupar as posições relativas:

4. Exercício com o auxílio do "Geometer Sketchpad";
   

Podemos, nesta parte, recorrer à utilização do programa " The Geometer Sketchpad", para construir modelos geométricos de forma a assentar alguns dos conceitos introduzidos:

Construção de um Paralelogramo

1. Num sketch limpo, mude para a ferramenta e construa o segmento de recta AB;
   

2. Mude para a ferramenta e construa um ponto C, fora do segmento AB;
   

3. Com a ferramenta seleccione o segmento e o ponto, (sem esquecer de pressionar a tecla SHIFT). No menu escolha a opção e construa a paralela ao segmento AB que passa pelo ponto C;
   

4. Com a ferramenta seleccione os pontos A e C. No menu escolha a opção e construa o segmento de recta AC;
   

5. Seleccione o ponto B e o segmento AC. No menu
   escolha a opção e construa a paralela ao segmento de recta AC que passa pelo ponto B;
   

6. Com a ferramenta seleccione as duas rectas, a paralela a AB que passa por C e a paralela a AC que passa por B. No menu escolha a opção e construa o ponto D;
   

7. Com a ferramenta seleccione novamente as rectas mencionadas no passo anterior e no menu escolha a opção , para esconde-las;
   

8. Com a ferramenta seleccione os pontos B e D. No menu escolha a opção e construa o segmento de recta BD;
   

9. Repita o passo anterior para os pontos C e D.

A figura obtida é semelhante à seguinte, podendo os alunos manipulá-la de forma a identificar as posições relativas dos segmentos que constituem os lados do paralelogramo.

Sorry, this page requires a Java-compatible web browser.

This is a prototype of JavaSketchpad, a World-Wide-Web component of
The Geometer's Sketchpad.
Copyright ©1990-1998 by Key Curriculum Press, Inc.