peny.gif (10250 bytes)O NÚMERO DE OURO E FIBONACCIpeny.gif (10250 bytes)

O fascínio pelo número de ouro, data de há mais de 2 000 anos.  Os "antigos" aperceberam-se que a arte e a arquitectura baseadas na razão de ouro, eram invulgarmente agradáveis à vista. A razão de ouro começou por ser definida em termos geométricos

O número de ouro pode ser encontrado através da razão da largura e do comprimento de um rectângulo de ouro.

 

Mas antes de prosseguirmos, iremos explicar o que se entende por rectângulo de ouro.

Denomina-se rectângulo de ouro, um rectângulo que, quando é dividido em duas partes e em que uma dessas partes seja um quadrado, então o que resta terá que ser um rectângulo com as mesmas proporções do rectângulo inicial.

Consideremos então o seguinte rectângulo de ouro:

Se retirarmos a este rectângulo o quadrado de lado x ( o quadrado a ), obtém-se o novo rectângulo de ouro (o rectângulo b) de dimensões x e y – x. Repetindo a operação, obtém-se a seguinte sequência de rectângulos de ouro (rectângulo de cor amarela):

 

...

figura tirada de: http://forum.swarthmore.edu/dr.math/faq/faq.golden.ratio.html

 

O processo anterior pode-se realizar de forma inversa. Em vez de se ir dividindo o rectângulo inicial num rectângulo de ouro e num quadrado, partir-se-á de um quadrado de forma a obter sucessivos rectângulos de ouro:

fibSpiralANIM.gif (2810 bytes)

figuras tiradas de: http://forum.swarthmore.edu/dr.math/faq/faq.golden.ratio.html

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

Como podemos observar pelo desenho, os números que vão aparecendo em cada novo quadrado, são números de Fibonacci.

Esta figura mostra, como se pode desenhar uma espiral, unindo quartos de círculos em cada novo quadrado (inscrito no rectângulo de ouro). A espiral obtida é conhecida como a espiral de Fibonacci.

Mas o que é que o número de ouro tem a ver com a sucessão de Fibonacci?

O número de ouro tem o valor j = ( 1 + Ö 5 )/2 (= 1,618 033 989...)

Como se lembram da secção da Sucessão de Fibonacci, temos a seguinte sequência de números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233....

Se dividirmos cada um destes números pelo seu antecedente, reparamos que essa razão vai tender para um certo valor.

Isto é, se fizermos F2/F1=1; F3/F2=2; F4/F3=1,5; F5/F4=1,6(6); F6/F5=1,6 e se continuarmos assim sucessivamente, obtemos a seguinte sequência de números:

 

1,000 000; 2,000 000; 1,500 000; 1,666 666; 1,600 000; 1.625 000; 1,615 385; 1,619 048; 1,617 647; 1,618 182; 1,617 978; 1,618 056; 1,618 026; 1,618 037; 1,618 033; ...

 

Então Fn+1/Fn aproxima-se cada vez mais de j(Phi)

 

Esta expansão decimal prolongar-se-á sem nunca se repetir (logo é um número irracional).

De facto, quando se prolongam estas "razões de Fibonacci" indefinidamente, o valor gerado aproxima-se cada vez mais do número de ouro.

 

Para saber mais:

http://www.educ.fc.ul.pt/~icm11/contracapa.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/~icm17/ouro.htm

 

setatras.gif (936 bytes)        home.gif (939 bytes)         setafrente.gif (181 bytes)