Os números de Fibonacci e o triângulo de Pascal:
Como se constrói o triângulo de Pascal?
Para se saber um determinado número, basta somar os dois números imediatamente acima deste.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...
Por exemplo o número 4 da última linha é a adição do 1 com o 3 da linha anterior. E o número 3 obtém-se adicionando o 2 com o 1.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...
Se ainda não conseguiu ver como aparece a soma, repare:
Figura tirada de: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibmaths.html
Será possível encontrar os números de Fibonacci no triângulo de Pascal?
Vejamos:
A resposta está na fórmula abaixo. Esta é uma possível maneira de representar o triângulo de Pascal:
| F(n) = |
|
Ou então:
| F(n) = |
|
Será que a soma da diagonal é um número de Fibonacci?
É fácil ver que a diagonal é realmente a soma dos números de Fibonacci. Se nos lembrarmos, que cada número do triângulo de Pascal é a soma dos que são superiores a ele, temos que:
colunas |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
... |
||
L |
0 |
1 |
||||||
I |
1 |
1 |
1 |
|||||
N |
2 |
1 |
2 |
1 |
||||
H |
3 |
1 |
3 |
3 |
1 |
|||
A |
4 |
1 |
4 |
6 |
4 |
1 |
||
S |
5 |
1 |
5 |
10 |
10 |
5 |
1 |
|
6 |
1 |
6 |
15 |
20 |
15 |
6 |
1 |
Se reparar, usando a notação: (colunas, linhas), temos:
Primeira diagonal: (0,0)=1
Segunda diagonal: (0,1)=1
Terceira diagonal: (2,0)+(1,1)=2
Quarta diagonal: (4,0)+(3,1)+(2,1)=5
Repare ainda que, a soma de uma diagonal, excluindo a primeira e a segunda, é a soma das duas diagonais anteriores consecutivas. Isto porque, F(n+2)=F(n)+F(n+1).
Para saber mais sobre o triângulo de Pascal:
http://www.educ.fc.ul.pt/~icm48
