PROBLEMAS
COM OS NÚMEROS DE FIBONACCIPROBLEMAS
COM OS NÚMEROS DE FIBONACCI
Formas de fazer uma parede de tijolos
Existem factos sobre a família das abelhas que devemos conhecer: por exemplo algumas abelhas não têm pai e mãe!
Na colónia das abelhas existe uma especial: a rainha.
Há muitas abelhas trabalhadoras que embora sejam fêmeas
não põem ovos.
Os zangões são machos. Alguns deles não trabalham. Os
machos são produzidos pelos ovos infertilizados da rainha. Logo, só têm uma mãe e não
têm pai.
Todas as fêmeas são produzidas quando a rainha acasalou
com um macho e assim têm pai e mãe. As fêmeas geralmente acabam como trabalhadoras, mas
algumas são alimentadas com uma substância especial, chamada jóia real, que faz com que
elas se tornem rainhas. Elas estão prontas para se irem embora e formar a sua colónia,
assim que as abelhas construírem um enxame e deixarem a sua casa (colmeia) à procura de
um novo lugar para construírem o seu ninho.
Concluímos que as fêmeas têm dois pais e os machos uma mãe.
(NOTA: Nos diagramas de família que apresentaremos, os pais aparecem acima dos filhos.)
figura tirada de: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html
Consegue dizer-nos quantos trisavôs tem cada macho e cada fêmea?
Formas de fazer uma parede com tijolos
Se se quiser construir uma parede de
tijolos, cujo comprimento é duas vezes maior que a sua altura e se, a parede tiver que levar duas unidades de altura, poder-se-á fazer um número diverso de formas, dependendo do comprimento que se queira: |
Existe apenas uma forma de parede com o comprimento 1, pondo o
tijolo em pé. Existem duas formas de construir uma parede de comprimento 2. A primeira forma é colocá-los lateralmente um no topo do outro. A segunda é colocá-los longitudinalmente junto um do outro. Existem três formas de construção para paredes de comprimento 3. |
Quantas formas diferentes se consegue encontrar para uma parede de comprimento 4?
Quantas formas diferentes se consegue encontrar para uma parede de comprimento 5?
Repare então para o número de formas que encontrou, para uma parede de comprimento 1, 2, 3, 4 e 5. Será que consegue descobrir alguma coisa que seja familiar em todos estes casos?
Será que consegue encontrar uma razão para que isso aconteça?
Percurso da abelhaA abelha que aparece na figura está a começar a percorrer algumas células na sua colmeia.
|
Ela pode começar ou pela célula 1 ou pela célula 2 e move-se apenas para a sua direita (isto é, só se pode mover para a célula cujo número seja superior ao seu). Há apenas um caminho para chegar à célula 1, mas duas maneiras de chegar à célula 2: directamente ou via a célula 1. Para a célula 3, pode ir de 1 para 2 e depois para 3, ou de 1 para 3, ou ainda de 2 para 3, isto é, há três caminhos diferentes. |
Quantos caminhos há desde o princípio até à célula n?
A resposta corresponde mais uma vez aos números de Fibonacci. Consegue explicar porquê?
| Deixamos ao seu critério a resolução. Se desejar, envie-nos a resposta para as seguintes moradas: |
 |
Imagine uma sala cheia de pessoas e com uma fila de n cadeiras. Se se considerar, que neste grupo há professores, poderá imaginar que, ao se sentarem dois professores juntos, o tema de conversa entre eles será escola/colégio (o que se tornará aborrecido). |
Para que isto não aconteça, impõe-se que na fila de cadeiras não se sentem dois professores lado a lado, e ir-se-á contar quantas maneiras existem de sentar as n pessoas.
Os que forem professores denominam-se por (P) e os que não forem denominam-se por (N).
O número de arranjos que se vai encontrar ao resolver este problema são números de Fibonacci.
1 cadeira: P ou N (duas maneiras)
2 cadeiras : PN ou NP ou NN (três maneiras, desde que não se considere PP)
3 cadeiras : PNP, PNN, NPN, NNP ou NNN (cinco maneiras , PPN, NPP e PPP não são considerados)
| Deixamos ao seu critério a resolução. Se desejar, envie-nos a resposta para as seguintes moradas: |
Como não havia elevadores na época de Leonardo, ele tinha sempre que usar as escadas. Se estava com pressa, ele subia as escadas de dois em dois degraus, caso contrário recorria à forma habitual, de degrau em degrau. Se se misturar estes dois tipos de acção tem-se então:
passar para o próximo degrau
saltar por cima do degrau que está imediatamente a seguir
Então, de quantas maneiras diferentes ele podia fazer saltos de n degraus?
|
Por exemplo, para três degraus, ele pode ir:
...que totaliza três maneiras de subir três degraus. |
Quantas maneiras há de subir um lance de escadas de 4 degraus? De 5 degraus? E de n degraus? Porquê?
| Deixamos ao seu critério a resolução. Se desejar, envie-nos a resposta para as seguintes moradas: |
Cada país tem a sua moeda monetária. Por exemplo, na Grã-Bretanha existem moedas que podem valer 1 penny (1p) ou 2 pence (2p).Se se tiver apenas moedas no valor de1p e 2p, de quantas maneiras se pode amontoar uma certa quantia de dinheiro?
Por exemplo:
1p=1p (uma única maneira)
2p=1p+1p ou 2p (duas maneiras)
3p=1p+1p+1p ou 1p+2p ou 2p+1p (três maneiras)
...
Se se estiver a considerar 1p+2p e 2p+1p como soluções diferentes, então é porque está interessado em todas as ordens possíveis de moedas. Será que consegue adivinhar quantas maneiras existem de juntar uma quantia de dinheiro com o valor de 4p? Será que consegue adivinhar uma fórmula para determinar o caso geral?
Mas o desafio vai ser o seguinte:
Consegue explicar como é que os números de Fibonacci aparecem neste problema?
Supondo que está interessado apenas na colecção de moedas em vez da sequencia destas. Então 1p+2p é a mesma colecção de 2p+1p. Assim quantas colecções existem?
Consegue encontrar uma ligação entre as respostas do quebra cabeças e a resposta do problema do Leonardo?
Se pretende ter acesso a problemas mais dificeís aconselhamos as seguintes moradas:
http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpuzzles2.html
http://www.lmc.fc.ul.pt/~marcial/trabalho/erro.htm
http://www.lmc.fc.ul.pt/~marcial/trabalho/domino.htm
http://www.lmc.fc.ul.pt/~marcial/trabalho/moeda.htm
