Amealhando tostão a tostão |
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Amealhando tostão a tostão |
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Suponha que o seu banco lhe paga um juro anual de 3% sobre a módica quantia de 1 escudo que se encontra depositada na sua conta.
Se considerarmos que este juro se acumula no final de cada ano, então ao fim de um período de três anos teria na sua conta a quantia de (1+0,03)3 escudos.
Neste momento, todo o leitor mais curioso ou menos informado faria a seguinte pergunta:
Mas, ... de onde apareceu esta fórmula?
Se calhar, se lhe tivéssemos dito que ao fim de três anos teria a receber a quantia de 1,37917 escudos, não ficaria tão surpreso, pois, através de alguns cálculos relativamente simples, chegaria à mesma conclusão. Vejamos então como, através desses mesmos cálculos, conseguimos chegar à expressão que apresentámos.
Consideremos agora:
At - total de dinheiro ao fim de t anos
Q - quantia depositada inicialmente
j - taxa de juro
Nestas condições, a quantia total que terá no seu banco ao fim do 1º ano será dada por :
A1 = Q + j.Q = Q (1+j)
Ao fim de dois anos terá A1 mais os juros sobre A1 :
A2 = A1 + j.A1 = Q (1+j) + j.[Q (1+j)] =
= Q (1+j)2
Estará agora a observar que, seguindo o mesmo procedimento, terá ao fim de t anos a quantia dada por:
At = Q (1+j)t (1)
Chegámos, assim, à intrigante expressão (1+0,03)3, bastando para tal fazer Q = 1, j = 3% e t = 3 anos.
Voltando ao exemplo anterior, suponha agora que o juro é composto semestralmente. Ao fim de três anos teria na sua conta a quantia de (1+0,03/2)2 escudos, isto porque, se o juro fôr composto m vezes num ano, com a pessoa a receber de juros j/m, m vezes ao ano, então ao fim de t anos terá a quantia dada por:
At = Q (1+j/m)m.t (2)
Imagine agora que tinha a mesma quantia de 1 escudo e que tinha a sorte de encontrar um banco que pagasse 100% de juro ao ano. Assim, ao fim de um ano você teria ao todo (1+1)1 = 2 escudos (utilizando a expressão (1)).
Se o juro fosse composto semestralmente, então ao fim do 1º ano você teria (1+1/2)1x2 = 2,25 escudos (utilizando a expressão (2)). Por outro lado, supondo que o juro se capitalizava trimestralmente, teria então (1+1/4)1x4 = 2,44 escudos (utilizando novamente a expressão (2)) ao fim de um ano.
E se o seu banco lhe capitalizasse o juro mensalmente?
Neste caso, você teria a receber (1+1/12)1x12 = 2,61 escudos (utilizando mais uma vez a expressão (2)), ao fim do primeiro ano.
Ao leitor mais atento, começa agora a parecer evidente que quantas mais vezes se componha o juro ao ano, tanto mais dinheiro se irá receber no fim do mesmo.
Com um novo esforço de imaginação, pode conceber a possibilidade de que esse estranho banco decida compôr o juro continuamente, ou seja, em todo e qualquer instante do ano.
Quanto dinheiro teria você ao fim do ano? Sem dúvida uma fortuna. Ou, pelo menos, isso era o que você suspeitaria. Claro está, você poderia pensar vir a ser, citando Edward Kasner e James Newman, "não um milionário, não um bilionário, mas sim um "infinitário" " (in "Matemáticas e Imaginación").
Mas relegue todas as ilusões de grandeza, porque o processo de compor o juro continuamente em todo o instante dá origem a uma sucessão que converge para e e, portanto, depois de um ano agitado, a alimentada esperança de incalculáveis riquezas não resultaria em mais do que 2,72 escudos.
Surpreso? Vejamos então o que na realidade acontece.
Se o juro for composto continuamente, de modo que o número de vezes que é recebido no ano seja m ® +¥, então:
At = limn®¥ Q(1+j/m)mt
Assim, multiplicando o expoente por j/j, resulta:
At =
Q limn®¥ (1+j/m)(m
/j )jt
Fazendo m/j = n, vem:
At= Q
limn®¥ (1+1/n)njt
Mas, como limn®¥ (1+1/n)n = e , temos que:
At=Q e
jt
Moral da história: Mais vale apostar no totoloto para conseguir ser milionário, do que esperar enriquecer à custa dos juros do seu banco, até porque, a probabilidade de isso acontecer é nula.
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