A noção de função não apareceu por acaso na Matemática; surgiu como instrumento indispensável para o estudo dos fenómenos naturais. Constitui desde o tempo dos gregos o fundamento do Cálculo Infinitesimal, embora só nos finais do século XVII esta noção tivesse surgido como conceito claramente individualizado e como objecto de estudo corrente.

A palavra função parece ter sido introduzida, em 1637, por (1596-1650) quando se referia a qualquer potência inteira positiva xⁿ de uma variável x. Em 1673, (1646-1716) utiliza o termo função para designar muito geralmente a dependência de uma curva de quantidades geométricas. Deve-se a (1667-1748) o conceito de função como "uma quantidade composta de qualquer modo de uma variável e constantes quaisquer". Esta definição permitiu chamar funções às expressões analíticas que envolviam somente uma quantidade variável. Já em 1694, a palavra era adoptada na correspondência trocada entre Leibniz e Bernoulli.

(1707-1783) substitui, em 1748, na definição dada por Bernoulli o termo "quantidade" por "expressão analítica", mas esta conduzia a incoerências levando à conclusão de que uma mesma função pode ser representada por expressões analíticas diferentes. O conceito de função acabaria por seguir uma evolução própria. Começa-se, então, a considerar  funções às quais não corresponde qualquer expressão analítica, que não são susceptíveis de representação geométrica simples e que não têm qualquer relação com problemas concretos do mundo físico.

(1768-1830) considera a temperatura de um corpo como uma função de duas variáveis, o tempo e o espaço. Posteriormente, (1805-1859), vem dizer que uma função seria simplesmente uma correspondência entre duas variáveis, tal que a todo o valor da variável independente se associasse um e um só valor da variável dependente. Através do desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos iniciada por (1845-1918) a noção de função estende-se ao século XX de forma a incluir tudo o que fossem correspondências arbitrárias entre quaisquer conjuntos, numéricos ou não.

A evolução viveu momentos de dramatismo com o surgimento das "funções monstro" (como, por exemplo, as funções contínuas sem derivada em nenhum ponto), mas ainda não acabou. Passou-se, depois, da noção de correspondência à noção de relação.