Os três problemas clássicos

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Os séculos V e IV a.C. constituíram um período extremamente activo e rico da matemática no mundo grego. Ao longo de toda a costa mediterrânea, sob influência grega, assistia-se ao florescimento de importantes pólos de desenvolvimento da matemática, nomeadamente através da actividade de importantes matemáticos e filósofos (Arquitas de Tarento, Demócrito na Trácia, Hipias de Elis, na Ática, Hipócrates de Quios, Anaxágoras de Claxomenae e Zenão de Elea). Neste período, conhecido por Época Heróica da Matemática, têm início os três problemas clássicos da matemática grega, que se apresentam seguidamente.

 

Trissecção de um ângulo: consiste em dividir um ângulo em três ângulos congruentes.

 

Quadratura do círculo: consiste em construir um quadrado com a mesma área de um dado círculo.

 

Duplicação do cubo: consiste em construir um cubo com o dobro do volume de um dado cubo.

 

Estes problemas estimularam o pensamento e descobertas matemáticas ao longo de dois milénios, até se concluir que não podiam ser resolvidos utilizando apenas um compasso e uma régua não graduada. Com efeito, só no século XIX viria a ser demonstrada a impossibilidade de resolução de qualquer dos três problemas nos termos estritos em que tinham sido enunciados, fruto do desenvolvimento da Álgebra (Abel e Galois).

Desta teoria concluiu-se que com uma régua graduada apenas se podem construir segmentos de recta, cujas equações são lineares (1º grau). Com um compasso podem-se construir circunferências e arcos com equações do 2º grau. Utilizando os dois instrumentos chega-se sempre a equações do 2º grau no máximo. No entanto, para resolver qualquer um dos três problemas de modo algébrico são necessárias equações cúbicas (3º grau) ou que envolvem números transcendentes. Por conseguinte, tanto a régua não graduada como o compasso são insuficientes para obter a solução dos problemas.

Estes três problemas são o exemplo vivo de que a beleza de um problema matemático não reside na resposta, mas sim nos métodos usados para o resolver. A não existência de solução pode parecer frustrante, mas os raciocínios utilizados para se chegar a essa conclusão são com frequência muito fascinantes, acontecendo no processo descobertas estimulantes de novas ideias.

A importância destes problemas reside no facto de terem constituído ao longo dos tempos uma fonte muito rica de ideias e processos matemáticos, que foram sendo inventados nas sucessivas tentativas de resolução. Isto, aliado à progressiva organização lógica da matemática que culmina com a publicação dos Elementos de Euclides no final do século IV a.C., determina a importância desta época para o estudo da matemática grega e da sua herança, decisivas na formação do pensamento matemático ocidental.

 

Trissecção de um ângulo

Alguns ângulos particulares, como por exemplo os de 135º e 90º, podem ser trissectados recorrendo a uma régua não graduada e a um compasso, mas, no caso geral, é impossível dividir um ângulo em três partes iguais dessa forma, pois demonstra-se que a equação usada para resolver o problema é cúbica e tem a forma .

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Quadratura do círculo

Dado um círculo de raio r, a sua área é . Pretende-se construir um quadrado, de lado x, com área igual. Assim, tem-se , logo .
Como é um número transcendente, não pode ser expresso por meio de um número finito de operações racionais e raízes reais. Daqui resulta a impossibilidade da quadratura do círculo recorrendo apenas ao compasso e à régua não graduada.

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Duplicação do cubo

Dado um cubo de aresta a, o seu volume é . Para duplicar este cubo queremos obter um outro, com aresta x, com o dobro do volume, ou seja . Obtém-se, então, , donde . Desta forma, chegamos a uma equação do 3º grau, que não podemos construir recorrendo apenas ao compasso e à régua não graduada.

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