Actividades de ICM
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No decurso do ano lectivo de 1999/2000 foram desenvolvidas diversas actividades nas aulas da disciplina de ICM, algumas das quais passamos a apresentar. Trata-se de actividades de geometria dinâmica.
Nesta actividade, vais aprender como se pode investigar uma propriedade dos triângulos com o programa de computador Sketchpad.
1. Começa por construir um triângulo ABC; para isso, faz o seguinte:
cria três pontos (chama-lhes A, B e C);
constrói os três lados do triângulo (são os segmentos que unem os pontos dois a dois);
arrasta um dos vértices do triângulo e verifica que o triângulo muda de forma mas não se desfaz.
2. Pede ao Sketchpad que meça os comprimentos dos lados e as amplitudes dos ângulos internos do triângulo ABC. Arrasta um vértice qualquer do triângulo e verifica que os valores dos comprimentos e dos ângulos variam.
3. Pede ao Sketchpad que meça a área e o perímetro do triângulo ABC. Arrasta um dos vértices do triângulo e verifica que a área e o perímetro variam.
4. Para veres como se investigam propriedades de figuras, pede ao Sketchpad para calcular a soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo ABC. O resultado deve ser 180º. Depois arrasta um vértice qualquer. Verificas que o valor de 180º se mantém constante, embora as amplitudes de qualquer dos ângulos internos variem. Isto leva-nos a supor que deve ser verdadeira a seguinte afirmação:
"A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º".
Em 1821 o matemático francês Poncelet demonstrou que para todo o triângulo é possível encontrar uma circunferência passando pelos seguintes pontos:
os pontos médios dos lados;
os pés das alturas;
os pontos médios dos segmentos que unem os vértices do triângulo ao ortocentro (ponto de encontro das alturas).
A esta circunferência é costume chamar circunferência dos nove pontos.
Durante o século XIX foram descobertos diversos resultados sobre esta circunferência, alguns dos quais iremos "verificar" usando o Geometer's Sketchpad.
1. Construa um triângulo e seguidamente a respectiva circunferência dos nove pontos.
2. Verifique os teoremas seguintes:
Teorema A. O raio da circunferência dos nove pontos tem um comprimento igual a metade do comprimento do raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Teorema B. O centro da circunferência dos nove pontos está sobre a recta de Euler, a meia distância entre o ortocentro e o circuncentro.
Nota: A recta de Euler é a recta definida pelo ortocentro e pelo circuncentro de um triângulo.
Extensão: Verifique que o baricentro (ponto de encontro das medianas) também está sobre a recta de Euler e conjecture qual é a sua posição em relação ao ortocentro e ao circuncentro.
Teorema C. A circunferência dos nove pontos é tangente à circunferência inscrita e às três circunferências ex-inscritas do triângulo.
Nota: As circunferências ex-inscritas são tangentes às três rectas suporte dos lados do triângulo, mas são exteriores ao triângulo.
*Adaptada de uma ideia original de Eduardo Veloso/1996
Dada uma recta d e um ponto F fora dela pode obter-se uma parábola como curva envolvente de todas as rectas construídas do seguinte modo:
traçar uma recta qualquer, r, passando pelo ponto F;
pelo ponto de intersecção das rectas r e d, construir uma perpendicular a r.
A envolvente de todas as perpendiculares será uma parábola de directriz d e foco F.
Utilizando o GSP podemos reproduzir este tipo de geração de parábolas, com os seguintes procedimentos:
1. Cria uma recta d, e um ponto fora dela, F.
2. Constrói uma circunferência qualquer, c, de centro em F e com um raio que não seja muito grande.
3. Constrói um ponto P sobre c.
4. Constrói a recta r, que passa por P e F.
5. Pelo ponto de intersecção das rectas r e d, constrói uma perpendicular a r.
6. Para construir a parábola, põe a perpendicular a deixar rasto (Trace no menu Display) e anima o ponto P sobre a circunferência c.
Tirando partido das potencialidades do GSP, vamos construir uma simulação de um caleidoscópio.
1. Começa por construir um triângulo de ângulos 30º - 60º - 90º. Para isso podes utilizar a opção Rotate no menu Transform.
Em dois lados do triângulo constrói um ponto e une-o ao vértice oposto ao lado a que pertence. Podes colorir estes segmentos e colocar os lados do triângulo a tracejado como mostra a sequência de figuras.
2. Marca um dos lados do triângulo como eixo de simetria (menu Transform, opção Mark Mirror), selecciona toda a figura e reflecte-a (menu Transform). Constrói uma figura semelhante a esta utilizando outras transformações do referido menu.
3. Para ver o caleidoscópio em movimento selecciona sucessivamente cada ponto gerador dos segmentos coloridos com o respectivo lado do triângulo e cria um botão de animação (menu Edit, opção Action Button seguida de opção Animation).
Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos interiores, chamados focos, é constante.
Utilizando o GSP podemos construir a elipse, com os seguintes procedimentos de acordo com a figura:
1. Constrói um segmento de recta [AB].
2. Constrói um ponto C sobre o referido segmento.
3. Constrói agora os segmentos [AC] e [CB].
4. Desenha dois pontos F1 e F2, focos da futura elipse.
5. Constrói duas circunferências de centros F1 e F2 e raios [AC] e [CB], respectivamente.
6. Marca os pontos de intersecção das duas circunferências e, na opção Trace do menu Display, coloca os pontos a deixar rasto.
7. Anima o ponto C sobre o segmento [AB].
Faz variar a distância entre os focos e tira conclusões quanto à possibilidade de obter a elipse.
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