Cónicas

Página Inicial Plano Espaço Fractais Actividades ICM Links

As secções cónicas começaram a ser estudadas no século III a.C., na Grécia Antiga. O seu interesse inicial residia no contributo que a sua utilização poderia dar para a resolução dos três problemas clássicos: trissectar um ângulo, quadrar um círculo e duplicar um cubo. Euclides escreveu um tratado sobre as cónicas, que se perdeu. A Apolónio (262?-190 a.C.), matemático grego, devem-se os nomes que ainda hoje utilizamos para a elipse, a hipérbole e a parábola.

Os desenvolvimentos à volta das secções cónicas efectuados nessa altura vieram a estar na base da formulação de várias teorias sobre curvas no séc. XVII. Por exemplo, Kepler usou a elipse para descrever as trajectórias dos planetas e Galileu a parábola para representar o movimento de projecteis na terra.

Uma secção cónica é uma curva que resulta da intersecção entre um plano e uma superfície cónica assente numa base circular, que se estende indefinidamente através do seu vértice em ambas as direcções.

Existem cinco tipos possíveis de secções cónicas: a elipse; a hipérbole; a parábola; a circunferência; e um par de rectas concorrentes. Estes dois últimos são casos particulares da elipse e da hipérbole, respectivamente.

Vejamos então as características dos cortes que dão origem a cada um dos tipos de secções cónicas. A elipse, a parábola e a hipérbole são obtidas como secções de um plano que respectivamente corta todas a geratrizes da superfície cónica, é paralelo a uma geratriz da superfície cónica e é paralelo a duas geratrizes da superfície cónica.

Para se perceber melhor como se obtêm as secções cónicas atente-se na figura que se segue.

Elipse e Circunferência

Hipérbole

Parábola

Questão: Como deve um plano intersectar uma superfície cónica para que se obtenha uma linha recta, duas rectas concorrentes ou um ponto?

As definições de cada uma destas curvas podem ser enunciadas como se segue.

Elipse: Lugar geométrico dos pontos, no plano, tais que é constante a soma das distâncias de cada um desses pontos a dois pontos fixos (focos da elipse) desse plano.

Hipérbole: Lugar geométrico dos pontos, no plano, tais que é constante o valor absoluto da diferença das distâncias de cada um desses pontos a dois pontos fixos (focos da hipérbole) do seu plano e é constante o quociente das distâncias de cada ponto da curva a um ponto fixo (foco) e a uma recta fixa (directriz) do plano da curva. (Esta curva é constituída por dois "braços".)

Parábola: Curva plana cujos pontos distam igualmente de um ponto fixo (foco) e de uma recta (directriz), ambos situados no plano da curva.

Circunferência: Curva plana fechada cujos pontos são equidistantes de um ponto fixo (centro) do seu plano.

Estas curvas podem ser encontradas na Natureza e por isso mesmo foram objecto de estudo para diversos matemáticos. A elipse, por exemplo, corresponde à geometria das órbitas de alguns planetas e cometas. A hipérbole corresponde à geometria das trajectórias de alguns cometas e de outros corpos celestes. A parábola corresponde à trajectória de um projéctil lançado num campo gravítico, como se pode verificar com um jacto de água. Pode ainda ser encontrada na forma da luz de uma lanterna projectada numa superfície plana. A circunferência, símbolo da perfeição na Grécia Antiga, pode ser encontrada nas ondas produzidas por uma pedra na superfície de um lago ou na roda.

Na astronomia, a descoberta do cometa Halley é paradigmática. Em 1704 Edmund Halley estudou as órbitas de vários cometas, para as quais existiam dados. Concluiu que os cometas de 1682, 1607, 1531 e 1456 eram afinal um único cometa que descrevia uma órbita elíptica à volta do sol com um período de cerca de 76 anos. Fez a previsão correcta do seu retorno em 1758, o que fez com que o cometa ficasse conhecido pelo seu nome. Investigações recentes sugerem que os chineses tivessem registado este cometa em cerca de 240 a.C..

Cometa Halley

 

Página Inicial Plano Espaço Fractais Actividades ICM Links