Elipses

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A elipse é uma secção cónica que se obtém pela intersecção de uma superfície cónica com um plano que corta todas as directrizes dessa superfície. A soma das distâncias de cada um dos pontos da elipse a dois pontos fixos (focos da elipse) é constante.

Métodos de Construção

Existem vários métodos de construção da elipse entre os quais destacamos o método do jardineiro (fig. 1), um método de alongamento de uma circunferência (fig.2) e um método baseado em duas circunferências (fig. 3).

O método do jardineiro consiste, como se pode observar na fig. 1, em espetar duas hastes verticais no chão, atar as extremidades de uma corda a cada uma das hastes e com um pau encostado à corda ir traçando a elipse no chão, mantendo sempre a corda esticada. O comprimento da corda deve, obviamente, ser superior à distância entre as hastes.

Fig. 1 - Método do jardineiro.

O método de alongamento de uma circunferência consiste em, partindo de uma circunferência de um determinado diâmetro, com centro na origem de um referencial, multiplicar as abcissas de todos os pontos da circunferência por um factor de alongamento. O diâmetro da circunferência deve ser igual ao eixo menor da elipse que se pretende traçar. O factor de alongamento deve ser escolhido por forma a que quando multiplicado pelo diâmetro da circunferência dê a medida do eixo maior da elipse.

Fig. 2 - Método de alongamento de uma circunferência.

Por fim, o método das duas circunferências foi desenvolvido em GSP e pode ser experimentado na animação da fig. 3. A animação pode ser accionada clicando no botão Construir ou simplesmente arrastando o ponto R. Se quiseres interromper a animação, clica de novo no botão Construir. Para apagar o rasto do ponto P, clica no botão . Para restituir a configuração inicial basta pressionar a tecla R.

O diâmetro da circunferência maior é igual ao eixo maior da elipse, sendo o da menor igual ao eixo menor. A excentricidade da elipse pode ser alterada movendo o ponto C sobre o segmento AB.

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Fig. 3 - Animação do método das duas circunferências.

 

Relações da elipse com a astronomia

Modelo do Sistema Solar de Tycho Brahe

O Homem teve sempre necessidade de explicar os fenómenos que observava na Natureza. Ao longo do tempo foi encontrando modelos para explicar o funcionamento do Sistema solar.

As civilizações antigas dedicaram-se ao estudo da astronomia principalmente com fins práticos. Utilizavam-na, por exemplo, para realizar previsões acerca de acontecimentos importantes, ou para determinar as estações do ano a fim de procederem às actividades agrícolas nas alturas correctas. Mais tarde, as razões vieram a alterar-se, mas o interesse pela astronomia manteve-se sempre.

Os primeiros modelos de que há registo consideravam que as órbitas planetárias eram circulares. Assim mesmo começou por considerar Johannes Kepler, chegando à discordância entre os resultados teóricos e as observações do astrónomo dinamarquês Tycho Brahe, em que se apoiou.

Essa discordância veio a ser resolvida quando deduziu que as órbitas planetárias eram elípticas e publica em 1609 a sua descoberta de que a órbita de Marte em torno do Sol é uma elipse.

A partir daí as cónicas, objectos até então exclusivamente matemáticos, revelaram a sua estreita ligação com a Natureza, em particular com as trajectórias dos planetas no Sistema Solar.

Esta descoberta, associada aos estudos de Galileu, levou posteriormente (c. 1680) Isaac Newton a formular a sua lei da gravitação universal.

 

Actividades à volta da elipse

  1. Com os olhos vendados, pede a um amigo para fixar dois pregos num chão plano e atar-lhes as extremidades de uma corda, para então desenhar uma elipse no chão. Seguidamente, diz-lhe para remover os pregos e a corda, disfarçando os buracos dos pregos. Conseguirás tu descobrir os dois focos da elipse a partir do seu traçado?

  2. As elipses podem ser desenhadas utilizando uma corda fechada (com as extremidades atadas) e dois pregos, não é? O que obterias aplicando o mesmo procedimento a três pregos? E a quatro?

  3. Consideremos um ponto A na elipse da figura seguinte, relativamente à qual T1T2 é tangente nesse ponto. F1 e F2 são os focos da elipse. As linhas F1A e F2A são os raios focais do ponto A. Prova que os raios focais formam ângulos iguais com a tangente, isto é, <(T1AF1) = <(T2AF2).

Nota: Outra actividade envolvendo elipses pode ser encontrada na secção de actividades de ICM.

 

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