Exemplos de fractais

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O floco de neve de Koch

Nas palavras de Mandelbrot, o floco de neve de Koch é "um modelo grosseiro, mas vigoroso de uma linha costeira".

O floco de neve de Koch, é um fractal, que se obtém partindo de um triângulo equilátero. Para o construir, começa-se com um triângulo com lados de tamanho 1. Ao meio de cada lado, adiciona-se um novo triângulo com um terço do tamanho; e assim por diante, como se pode verificar na figura seguinte. O comprimento total do contorno é 3*4/3*4/3*4/3... - infinito. Contudo, a área permanece menor que a área do círculo que circunda o triângulo original. Portanto, uma linha infinitamente longa é rodeada por uma área finita.

Fig. 1 - Construção do floco de neve de Koch.

 

A curva de Koch é semelhante ao floco de neve de Kock só que em vez de se partir de um triângulo equilátero, parte-se de um segmento de recta e aplica-se o mesmo processo de construção.

 

A curva de Peano

A curva de Peano, apresentada em 1890,  é um exemplo de um fractal que preenche o plano. Uma curva que preenche o plano passa por todos os pontos de uma determinada área, acabando por, gradualmente, a ocupar na totalidade.

O ponto de partida para a construção da curva de Peano é um segmento. Na 1ª iteração, o segmento é substituído por 9 segmentos de comprimento igual a um terço do comprimento do segmento inicial, e colocados como indica a primeira imagem da figura 2. Esses 9 segmentos constituem a 1ª iteração da construção recursiva da curva de Peano. Depois, o processo recursivo aplica-se a cada um dos 9 segmentos, até ao infinito.

Observe-se que as curvas obtidas nas diferentes iterações da recursão, a partir da primeira, intersectam-se a si próprias - nos vértices dos pequenos quadrados que se vão formando em cada iteração. Pode-se demonstrar que no limite, isto é, na curva de Peano, se passa o mesmo, dando-se o preenchimento do plano.

 

Iteração 1

Iteração 2

Iteração 3

Fig. 2 - Construção da curva de Peano: 3 iterações.

 

Fractais na Natureza

Alguns objectos da Natureza, como montanhas, árvores e plantas, têm propriedades fractais. Na imagem que se segue, podemos observar em vários níveis de ampliação a complexidade e pormenor de um feto. Este feto apresenta a propriedade de auto-semelhança, característica dos fractais. Com efeito, as várias ampliações, sinalizadas na imagem inicial a laranja e a azul, são muito semelhantes a essa imagem. Estas propriedades sugerem uma ligação entre os fractais e a natureza.

Fig. 3 - Feto: um objecto da Natureza fractal.

 

Outros exemplos de objectos da Natureza com propriedades fractais são a couve-flor, os bróculos e as costas marítimas.

Contudo, os objectos da Natureza não são verdadeiramente fractais, pois eles não são infinitamente complexos.

 

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