Fórmula de Euler

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A fórmula de Euler é dada pela expressão V + F -A = 2, onde V, F e A são, respectivamente, o número de vértices, faces e arestas do poliedro. Euler descobriu-a em 1750 e fez extensas verificações da sua conjectura, para diversos tipos de sólidos, mas não apresentou nenhuma demonstração, dizendo o seguinte:

"Devo admitir em primeiro lugar que ainda não consegui uma demonstração rigorosa deste teorema... Como, em todo o caso, a sua verdade foi estabelecida em tantos casos, não pode haver dúvidas que é verdadeiro para qualquer sólido. Portanto a proposição parece satisfatoriamente demonstrada".

Mais tarde, Euler acabou por apresentar uma demonstração. Para Euler, o teorema aplicar-se-ía a todos os poliedros. No entanto, vários matemáticos atacaram essa tese, contestando o facto de não ser dada uma definição inequívoda de poliedro. Este facto originou uma grande controvérsia à volta deste teorema, levando a sucessivas demonstrações e refutações da sua validade. Algumas refutações baseavam-se na descoberta de poliedros que não verificavam a teoria. Alguns destes poliedros não-eulerianos, também designados por "monstros", apresentam-se na figura seguinte.

 

Outros poliedros que não verificam o teorema de Euler são o pequeno dodecaedro estrelado e o grande dodecaedro.

Pequeno dodecaedro estrelado

Grande dodecaedro

 

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