O número PI

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O número é definido como sendo a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Mas este número tem outras personalidades. É também um número irracional e um número transcendente.

O fascínio pelo e a determinação do seu valor têm acompanhado a matemática ao longo da sua história. Desde cedo que se teve consciência de que o seu valor é constante. No Antigo Testamento, no Livro dos Reis e nas Crónicas, o valor de era 3. Na Babilónia, esse valor era de 25/8. Para os egípcios, de acordo com o papiro de Rhind, = 4(8/9)² = 3.16. Estes valores foram determinados recorrendo a medições (ver actividade).

Entretanto, o valor de passou também a ser determinado através de cálculos teóricos. Por exemplo, Arquimedes (287-212 a.C.) situou o valor de entre 3(1/7) e 3(10/71), fazendo aumentar o número de lados de um polígono inscrito. Por sua vez, Ptolomeu, em 150 d.C., estimou esse valor em 3,1416.

Outros matemáticos estimaram o valor de , como por exemplo:

Tsu Ch'ung Chi (430-501 d.C.) : 355/113;

al-Khwarizmi (c. 800 ) : 3.1416;

al-Kashi (c. 1430) , com 14 casas decimais;

Viète (1540-1603) , com 9 casas decimais;

Roomen (1561-1615) , com 17 casas decimais;

Van Ceulen (c. 1600) , com 35 casas decimais.

Com a descoberta do cálculo infinitesimal, passou a recorrer-se também à utilização de séries infinitas convergentes, de produtos e de fracções, para aproximar . Exemplos destes desenvolvimentos são:

Nos dias de hoje, recorre-se ao computador para estimar o valor de . O seu valor é já conhecido com mais de mil milhões de casas decimais.

Considerado uma constante fundamental da matemática, figura em muitas fórmulas importantes, como, por exemplo, a do perímetro de um círculo (P = 2R), a da área de um círculo (A = R²), a do volume de uma esfera (V = 4/3R³), etc.

Para além de estar relacionado com o cálculo infinitesimal e a geometria, o também apresenta relações com as probabilidades, como ilustra o problema da agulha de Buffon.

O problema da agulha de Buffon, séc. XVIII, constitui uma forma de determinar o valor de e pode enunciar-se da seguinte forma:

"Considere-se um chão constituído por ripas de madeira de largura d, paralelas entre si. Deixa-se cair no chão uma agulha com comprimento k < d. Qual é a probabilidade de a agulha cair de modo a cruzar uma linha entre duas ripas adjacentes?"

Se a agulha cair sobre uma linha, o lançamento é considerado favorável. A descoberta de Buffon consistiu no facto de ter constatado que a razão entre o número de lançamentos favoráveis e o dos não favoráveis era dada por uma expressão que envolvia . Se o comprimento da agulha for igual a d, a probabilidade de um lançamento favorável é de 2/. Quanto maior for o número de lançamentos, maior é a aproximação do resultado ao valor de .

Várias pessoas tentaram aproximar o valor de atirando agulhas ao chão. O caso mais conhecido é o do matemático italiano M. Lazzerini, que em 1901 realizou 34080 lançamentos, obtendo para o valor de 3.1415929 (correcto até à sexta casa decimal).

Um outro método que recorre ao cálculo de probabilidades para a determinação do valor de foi inventado por R. Chartres, em 1904, que descobriu que a probabilidade de dois números escritos ao acaso serem primos entre si era de 6/².

A importância atribuída ao número chega mesmo a áreas como a busca de vida extraterrestre. Com efeito, são enviadas para o espaço, através de ondas electromagnéticas, sequências dos dígitos conhecidos do número , com a intenção de que "alguém" nos "ouça" por esse Universo fora e nos responda, talvez, com o número de Nepper.

 

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