Sólidos platónicos

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Os sólidos platónicos são sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares congruentes. A sua designação deve-se a Platão, que os descobriu em cerca de 400 a.C.. A existência destes sólidos já era conhecida pelos pitagóricos, e os egípcios utilizaram alguns deles na arquitectura e noutros objectos que construíram.

Existem apenas cinco sólidos platónicos, que são os seguintes:

Sólidos platónicos

 

Estes sólidos foram adquirindo ao longo dos tempos diversos significados místicos. Por exemplo, Kepler sentia uma grande admiração e reverência por eles (Porquê apenas cinco?) e chegou mesmo a tentar explicar os movimentos planetários a partir deles. Além disso, interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de Platão da seguinte forma:

 

Uma demonstração de que são apenas cinco os sólidos platónicos pode ser obtida através do processo da sua construção, como Platão fez num seu texto incluído no diálogo Timeu.

Para a construção dos sólidos platónicos, por definição, apenas podemos utilizar polígonos regulares congruentes. Comecemos por considerar o triângulo equilátero, que é o polígono regular com menos lados. Quantos poliedros, cujas faces são apenas este polígono, conseguimos construir? Para responder a esta pergunta, centremos a nossa atenção nos vértices dos possíveis poliedros (basta considerar apenas um, pois os restantes são idênticos).

Com dois triângulos equiláteros, não se consegue constituir um vértice de um poliedro, pois um ângulo sólido tem que ser constituído pelo menos por três planos. Com três triângulos equiláteros é possível constituir um vértice de um poliedro, que é concretamente o tetraedro. Esta possibilidade prende-se com facto de a soma das amplitudes dos ângulos internos dos diversos triângulos adjantes, no vértice, ser inferior a 360º, exactamente 180º.

Se considerarmos quatro triângulos equiláteros, cuja soma das amplitudes dos ângulos internos adjantes no vértice é de 240º, obtemos o octaedro. Considerando cinco desses triângulos num vértice, essa soma é de 300º, ainda inferior a 360º, e obtemos o icosaedro. Passando para seis triângulos equiláteros, chegamos a uma impossibilidade. A soma das amplitudes dos ângulos internos adjantes no vértice é, neste caso, 360º, o que não permite "fechar" o vértice, isto é, formar um ângulo sólido, pois os triângulos ficam todos sobre o mesmo plano (formando uma pavimentação do plano em torno do suposto vértice). A consideração de um número maior de triângulos equiláteros em torno de um vértice, obviamente já não possibilita a construção de um poliedro.

 

O pressuposto de construção que tem estado a ser utilizado é o de que a formação de um ângulo sólido no vértice de um poliedro só é possível se a soma das amplitudes dos ângulos internos dos polígonos adjacentes no vértce for inferior a 360º.

Considerando o quadrado, e o pressuposto atrás enunciado, chegamos à conclusão de que apenas conseguimos construir o cubo. Com pentágonos, apenas conseguimos construir o dodecaedro.

 

Com hexágonos não se consegue construir nenhum sólido platónico. Basta verificar que três hexágonos adjacente em torno de um ponto (supostamente um vértice) pavimentam o plano, pois a soma das amplitudes dos ângulos internos desses hexágonos é precisamente 360º, o que não permite formar um ângulo sólido. Um número maior de hexágonos, obviamente, que também não permite a construção de um sólido platónico. Analogamente, com polígonos com um número maior de lados isso também não é possível.

 

Enumeremos então os sólidos que acabámos de construir: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo e dodecaedro. São precisamente cinco, como se queria demonstrar.

 

Outra forma demonstrar a existência de apenas cinco sólidos platónicos é através da fórmula de Euler, considerando as restrições relativas aos vértices, arestas e faces inerentes aos sólidos platónicos.

 

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