Número e

O limite da sucessão de termo geral   ^u_n = (1 + 1/n)ⁿ , que vamos provar existir, é um número muito importante em toda a análise matemática. A existência deste número, que se designa por e, em homenagem a Euler, ficará assegurada depois de provarmos que a sucessão  ^u_n é monótona e limitada.

• Monotonia

O termo de ordem n da sucessão obtém-se pelo desenvolvimento do binómio de Newton. O leitor poderá facilmente verificar que:

Do mesmo modo, teríamos:

Comparando as n+1 parcelas do desenvolvimento de u_n+1 com as n parcelas de ^u_n , conclúi-se:

• u_n+1  tem mais uma parcela positiva;
• a primeira parcela é igual;
• cada uma das restantes parcelas de ^u_n é menor que a correspondente parcela de u_n+1.

Portanto:

" n Î |N, u_n < u_n+1 Û (u_n) é crescente.

• Limitada

Além da sucessão

consideremos as duas sucessões seguintes:

e

comparando termo a termo as três sucessões, temos   

 u_n <  v_n < w_n ," n Î |N\{1}

Mas como

são termos de uma progressão geométrica de razão 1/2, a sua soma será

logo  

Podemos então escrever

   2 < u_n< v_n < w_n < 3 , n ³ 2,

o que prova que a sucessão de termo geral   ^u_n = (1 + 1/n)ⁿ é crescente e limitada, logo é convergente.

O limite desta sucessão é, por definição, o número e.

   lim (1 + 1/n)ⁿ = e @ 2,71828

Este número e chama-se número de Neper e o seu valor aproximado pode determinar-se, calculando os sucessivos termos da sucessão.

Uma aproximação de e com dez casas decimais é a seguinte:

   e = 2,7182818284