O tabuleiro de xadrez
- Resolução -
Para descobrir alguma regularidade vamos reduzir o problema a casos mais simples:
num tabuleiro de xadrez de:
dim 1 por 1 ------------- existe um quadrado
dim 2 por 2 ------------ existem 4+1=2²+1 quadrados
dim 3 por 3 ------------ existem 9+4+1=3²+2²+1 quadrados
º º º
Deduzimos então, que no caso do tabuleiro de xadrez temos 8²+7²+...
+2²+1=204 quadrados.
Este resultado generaliza-se através da seguinte fórmula:
1+2²+3²+... +n²=(n*(n+1) * (2*n+1))/6
Se não acredita na veracidade desta fórmula apresentaremos de seguida a demonstração
por indução.
Dem:
Caso base
Se n = 2, temos 4 quadrados unitários + 1
quadrado de dim. 2*2
total = 1+4=1+2²
Hipótese de Indução
O número de quadrados
existentes num tabuleiro de xadrez de dimensão (n -1)*(n -1) é:
1+2²+3²+... +(n -1)².
Tese
O número de
quadrados existentes num tabuleiro de xadrez de dimensão n*n é:
1+2²+3²+...+(n-1)²+n².
Como pela hipótese de indução, 1+2²+...+(n-1)² é o número de quadrados num tabuleiro de xadrez de dimensão (n -1)*(n-1), basta mostrar que o número de quadrados novos que aparecem ao passar de um tabuleiro de dimensão (n -1)*(n -1) para um n*n é n².
Se n = 3, aparecem: 5
quadrados 1*1
3
quadrados 2*2
1
quadrado 1*1
Se n = 4, aparecem : 7 quadrados
1*1
5
quadrados 2*2
3
quadrados 3*3
1
quadrado 4*4
º º º
No caso geral, aparecem: 2n-1
quadrados 1*1
2n-3
quadrados 2*2
2n-5
quadrados 3*3
2n-7
quadrados 4*4
.................
1
= 2n-(2n-1) quadrados n*n.
Somando todos os quadrados novos, obtem-se:
(2n-1) + (2n-3) + (2n-5) + ... + (2n -(2n-1)) = 2n + ... +2n - (1+3+5+...+(2n-1)) =
= 2n*n - n² = n².