Uma forma de representar as proporções são os gráficos circulares. Estes permitem representar as proporções das diferentes partes de um todo. No gráfico circular, o círculo aparece dividido em sectores circulares. O ângulo de cada sector é directamente proporcional ao número que representa. A um círculo corresponde 360º e 100%.                                                                                                                                                           

A Proporção Divina     

                   A proporção divina ou quociente dourado é equivalente a ( Ö 5+1)/2.

                       No pentagrama, que os pitagóricos viam como o símbolo da saúde, o quociente AB/BC é o quociente dourado. Exactamente como o quociente AC/AB e outros idênticos da mesma figura.

                    Euclides, no seu livro Elementos, chama a esta divisão "Quociente do extremo e da média", usando-o para construir o primeiro pentágono regular, os dois mais complexos sólidos platónicos, o dodecaedro( que tem 12 faces pentagonais) e o icosaedro(que é o seu dual). O significado místico destes belos poliedros, para os Gregos, era transferido para o quociente dourado com extrema naturalidade. Existem algumas evidências de que o quociente era importante para os egípcios. O Papiro de Rhind refere-se a um "quociente sagrado" e o quociente, na Grande Pirâmide de Gizeh, da altitude de uma face pela metade do lado da base é quase exactamente 1, 618.

                     Os Gregos provavelmente utilizaram-no na arquitectura, mas não existem provas desse facto. Sem dúvida que foi conscientemente explorado pelos artistas da Renascença, que a conheciam como "proporção divina".

                     Frei Luca Pacioli publicou em 1509 De divina Proportione, ilustrado com desenhos dos sólidos platónicos realizados pelo seu amigo Leonardo Da Vinci. Leonardo foi provavelmente o primeiro a referir-se a ele como a sectio aurea, a secção dourada. Os Gregos, surpreendentemente não lhe deram qualquer denominação.

                     Pacioli apresentou 13 das suas propriedades mais notáveis, concluindo que, "em nome da salvação, a lista tem de acabar (aqui)". Isto porque 13 é o número de pessoas presentes na Última Ceia. Frei Luca reduziu o número de operações aritméticas de oito para sete em reverência aos sete dons do Espírito Santo.

                    "O nono efeito por excelência" é o facto de duas diagonais de um pentágono regular, dividir cada uma das outras na proporção divina.

                    Kepler que baseou a sua teoria cósmica nos cinco sólidos platónicos, entusiasmou-se com a proporção divina, afirmando: "A Geometria tem dois grandes tesouros, um é o Teorema de Pitágoras, o outro é a divisão de uma linha no quociente do extremo e da média; o primeiro compara-se a uma medida de ouro, o segundo a uma jóia preciosa. "

                    Na época renascentista, os artistas utilizavam regularmente a secção dourada, dividindo a superfície de uma pintura em agradáveis proporções, tal como os arquitectos a utilizavam para analisar as proporções de um edíficio. A primeira edição italiana do De Architectura, de Vitrúvio, utiliza o quociente dourado para analisar a edificação da Catedral de Milão.

                   O psicólogo Gustav Fechner deu uma nova vida a este aspecto estético do quociente dourado na sua tentativa de estabelecer a estética numa base experimental.

                   Ele mediu incansavelmente as dimensões de quadros, cantos, livros, caixas de rapé, papel de escrita e janelas, entre outras coisas, na tentativa de desenvolver a estética experimental "de baixo para cima". Concluiu que o rectângulo proposto tinha os seus lados no quociente dourado

                   Le Corbusier, o arquitecto, seguiu esta crença da sua eficácia no desenho de O Modular. Ele construiu duas séries em paralelo, uma das potências do quociente dourado e a outra do dobro destas potências. Um colega, arquitecto, detectou nele a influência do renascimento e do espírito gótico. Vários correspondentes apressaram-se a apoiar   as suas ideias  pelas suas propriedades harmoniosas.

                    Os matemáticos têm duas denominações para o quociente dourado: t , a primeira letra da palavra grega tome (cortar); e j , seguindo o exemplo de Mark Barr, matemático americano que se baseou em Fídias, escultor grego, para o denominar.

                    Se a maior parte de uma linha tem o comprimento j e a menor parte 1,

                                                             ( j + 1 ) / j = j / 1

que pode também ser escrito na forma  j * j = j + 1  .

                    Por outras palavras, é quadrado ao adicionar-se a unidade. O seu inverso é encontrado subtraindo uma unidade:

                                                                           1/j  = ( Ö 5 - 1 )/2

                   Se se desenhar um rectângulo cujos lados estejam no quociente dourado, este pode ser dividido num quadrado e noutro rectângulo semelhante. Este processo pode ser repetido ad infinitum.

                   O quociente dourado está intimamente ligado à série de Fibonacci. Tal como j * j , as potências superiores de j podem ser expressas simplesmente em termos de j .

                   Cada potência é a soma das duas potências que a precedem e os coeficientes de j formam novamente a sequência de Fibonacci, tal como as partes inteiras das potências. j  tem muitas outras propriedades: Ele é equivalente à fracção infinita mais simples      1 + 1___                                                                                                         1 + 1___                                                                                                               1 + 1___                                                                                                                    1 + ...           

    que é também a mais lenta de todas as fracções infinitas a convergir para o seu limite. A sequência de convergência é 1/1, 2/1, 3/2, 5/3...com numeradores e denominadores seguindo a sequência de Fibonacci. Por coincidência, 355/ 113 é uma excelente aproximação de p.

                    Thomas O' Beirne explicou uma propriedade menos evidente, mas igualmente bela: calcule os múltiplos de j   e j*j usando números inteiros, o 1,2,3,4,5..., rejeitando a parte fraccionária. O resultado é uma sequência de pares: (0,0), (1,2), (3,5), (4,7), (6,10), (8,13)...  Esta sequência tem a propriedade tripla de a diferença entre os números em pares consecutivos ser aumentada 1; o menor número em cada par ser o menor inteiro que ainda não apareceu na sequência; na sequência aparecerem todos os inteiros uma só vez.                                                                                                    

       Cerca de 500 a.c. na escola Pitagórica, ao aprofundar os estudos sobre música, descobriu-se o seguinte: " Para cordas musicais, de diferentes comprimentos, sujeitos a tensões iguais: - a razão dos comprimentos de 2 para 1 corresponde a uma oitava;                         - de 3 para 2 a uma quinta;                                                                    - de 4 para 3 a uma quarta.

      A partir daqui Pitágoras elaborou a escala musical como é conhecida hoje em dia. Conta-se que Pitágoras observou que os sons produzidos por cordas vibrantes são harmoniosos quando os comprimentos das cordas podem ser expressos como razões de números inteiros. Se uma corda produz a nota Dó quando tocada, então uma semelhante com o dobro do comprimento produzirá o Dó uma oitava abaixo; e os tons entre essas notas são emitidos por cordas cujos comprimentos são dados pelas razões:                                            - 16:9 Ré                        - 4:3 Sol

                                          -8:5 Mi                            - 6:5 Lá                                                                                                                            

                                                  -3:2 Fa                                -16:15 Si                                                                                                                         

                              Proporcionalidade na literatura

« No século XVII o amor das túlipas tomou as proporções de um delírio epidémico»

                                                                   Ramalho Ortigão in A Holanda

«… o perigo e trabalho carregavam sobre forças maiores, bem que não tinham proporção com as do inimigo, porque o último socorro, que chegam ao exército era de três mil infantes…»

                                                                  Jacinto Freire deAndrade in Vida de D. João de Castro

Nas Viagens de Gulliver de Jonathan Swift o protagonista é Samuel Gulliver. No começo das aventuras e depois de um naufrágio Gulliver vai ter a Liliput.Neste país observa com surpresa que todos os seus habitantes são 12 vezes mais pequenos do que ele, pelo que, se Gulliver tivesse 1,72 metros de altura, um liliputiano teria apenas cerca de 14 centímetros de altura.Além disso e como afirma J. Swift " existe uma exacta proporção entre os animais e as plantas". Assim, um cavalo tem aproximadamente 12 centímetros de altura e uma ovelha 4 centímetros e por aí fora…

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