Números de Catalan

    Os números de Catalan descrevem:

- o número de maneiras de dividir um polígono de n+2 lados em n triângulos, exemplificando:

4 lados, 2 maneiras

- o número de maneiras de pôr parêntesis numa sequência de números, para multiplicá-los dois a dois, exemplificando:

3 números:

( 1  ( 2  3 ) )        ( ( 1  2 ) 3 )

4 números:

( 1 ( 2 (3 4) ) )       ( 1 ( ( 2 3) 4 ) )

( ( 1 2 ) ( 3 4 ) )     ( ( 1 ( 2 3 ) ) 4 )

( ( 1 2 ) 3 ) 4)

5 números:

( 1 ( 2 ( 3 (4 5 ) ) ) )       ( 1 ( 2 ( ( ( 3 4) 5 ) ) )

( 1 ( ( 2 3 ) ( 4 5 ) ) )      ( 1 ( ( 2 ( 3 4 ) ) 5 ) )

( 1 ( ( ( 2 3 ) 4 )5 ) )       ( ( 1 2 ) ( 3 ( 4 5 ) ) )

( ( 1 2 ) ( ( 3 4 ) 5) )       ( ( 1 ( ( 2 3 ) ) ( 4 5 ) )

( ( 1 ( 2 ( 3 4 ) ) ) 5 )      ( ( 1 ( ( 2 3 ) 4 ) ) 5 )

( ( ( 1 2 ) 3 )( 4 5 ) )       ( ( ( 1 2 ) ( 3 4 ) ) 5 )

( ( ( 1 ( 2 3 ) ) 4 ) 5 )       ( ( ( ( 1 2 ) 3 ) 4 ) 5 )   

- o número de caminhos de comprimento n que podemos pôr numa grelha desde que não ultrapasse a diagonal principal, exemplificando:

Grelha 2*2:

Grelha 3*3:

Grelha 4*4:

  Adaptado de: http:\\www.forum.swarthmore.edu/advanced/robertd/catalan.html

    Estes números são chamados de números de Catalan devido ao belga Eugène Charles Catalan. No entanto, ele não foi o primeiro a resolver este problema. Já antes dele o matemático Segner tinha chegado à solução que mais tarde foi simplificada pelos matemáticos Euler e Binet.

    Os números de Catalan podem ser obtidos usando a seguinte formula:

        Por exemplo:

       Temos duas maneiras de encontrar os números de Catalan no Triângulo de Pascal. Uma no meio da coluna central, subtraindo o elemento que está imediatamente adjacente (ver números a vermelho); outra na linha abaixo, considerando o elemento na posição seguinte e subtraindo o termo que está imediatamente à direita (ver números a verde).

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         das propriedades

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