Números Figurados

    Os números figurados são números que podem ser representados por uma construção geométrica de pontos equidistantes. Se o arranjo formar um polígono regular, estes números chamam-se números polígonais. Dentro destes vamos destacar os números triangulares, quadrados , hexagonais.

    Os números figurados também podem ter outras formas ou dimensões, como por exemplo, os números "pentatopes" ou num espaço tri-dimensional, os números tetraédricos .

 

  Números Triangulares

   Trata-se de um número figurado, e pode ser definido como o número de pontos que são necessários para formar uma sequência de triângulos.

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    Observando a figura, podemos generalizar que:

                      T(n)=T(n-1) + n

     Estes números podem ser encontrados na terceira diagonal do triângulo de Pascal.

 

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1   4   6    4   1 linha 4
1   5   10   10  5   1 linha 5
1   6   15   20  15  6   1 linha 6
1   7   21   35  35  21  7   1 linha 7
1   8   28   56  70  56  28  8   1   linha 8

 

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Números Quadrados

    Os números quadrados são outro tipo de números figurados, e são definidos como o número de pontos necessários para formar uma sequência de quadrados.

    Eles podem ser encontrados na mesma diagonal que os números triangulares (terceira), como soma de dois triangulares consecutivos. Por exemplo:1+3=4, 3+6=9, 6+10=16.... Portanto o n-ésimo número quadrado é igual

Q(n)=T(n)+T(n-1)

onde T(n) é o n-ésimo número triangular.

 

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Números Hexagonais

    Trata-se de outro número figurado e define-se como o número de pontos necessários para formar uma sequência de hexágonos.

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    A fórmula geral é assim:

H(n)=H(n-1) + 4n - 3

    Qualquer número hexagonal é também um número triangular, e portanto estes vão ser encontrados na terceira diagonal.

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    Os números triangulares, quadrados e hexagonais, além de números figurados são também números poligonais.

    Os números poligonais são constituídos pelo número de pontos na figura necessário para formar uma sequência de um certo poligono. O primeiro número de qualquer número poligonal é sempre um, ou seja um ponto. O segundo é o número de pontos necessário para construir o poligono menor. O terceiro número poligonal é construído a partir do anterior, acrescentando um ponto a cada lado, e depois completar até construir o resto do poligono.

    Outro exemplo destes números são os números pentagonais.

 

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Números Tetraédricos

    Um número tetraédrico trata-se de um número figurado. Estes podem ser definidos como o número de pontos necessários para construir uma sequência de tetraedros, tendo em conta que as bases da pirâmide são triângulares e, portanto constituídas por números triângulares.

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     Assim, os números tetraédricos também podem ser definidos como a soma de números triangulares consecutivos. Isto é,                    

onde Te(n) é o n-ésimo número tetraédrico e T(n) é o n-ésimo número triangular .

   No triângulo de Pascal podemos encontrar estes números na quarta diagonal, como exemplifica a figura.

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Números "Pentatopes"

    Trata-se de outro número figurado, que é dado pela fórmula

onde T(n) é o n-ésimo número tetraédrico.

    Os primeiros números "pentatopes" são 1, 5, 15, 35, 70,... e podem ser encontrados na quinta diagonal do Triângulo de Pascal, como se pode ver na figura.

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