Números Figurados

    Os números figurados são números que podem ser representados por uma construção geométrica de pontos equidistantes. Se o arranjo formar um polígono regular, estes números chamam-se números polígonais. Dentro destes vamos destacar os números triangulares, quadrados , hexagonais.

    Os números figurados também podem ter outras formas ou dimensões, como por exemplo, os números "pentatopes" ou num espaço tri-dimensional, os números tetraédricos .

  Números Triangulares

   Trata-se de um número figurado, e pode ser definido como o número de pontos que são necessários para formar uma sequência de triângulos.

    Observando a figura, podemos generalizar que:

                      T(n)=T(n-1) + n

     Estes números podem ser encontrados na terceira diagonal do triângulo de Pascal.

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Números Quadrados

    Os números quadrados são outro tipo de números figurados, e são definidos como o número de pontos necessários para formar uma sequência de quadrados.

    Eles podem ser encontrados na mesma diagonal que os números triangulares (terceira), como soma de dois triangulares consecutivos. Por exemplo:1+3=4, 3+6=9, 6+10=16.... Portanto o n-ésimo número quadrado é igual

Q(n)=T(n)+T(n-1)

onde T(n) é o n-ésimo número triangular.

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Números Hexagonais

    Trata-se de outro número figurado e define-se como o número de pontos necessários para formar uma sequência de hexágonos.

    A fórmula geral é assim:

H(n)=H(n-1) + 4n - 3

    Qualquer número hexagonal é também um número triangular, e portanto estes vão ser encontrados na terceira diagonal.

    Os números triangulares, quadrados e hexagonais, além de números figurados são também números poligonais.

    Os números poligonais são constituídos pelo número de pontos na figura necessário para formar uma sequência de um certo poligono. O primeiro número de qualquer número poligonal é sempre um, ou seja um ponto. O segundo é o número de pontos necessário para construir o poligono menor. O terceiro número poligonal é construído a partir do anterior, acrescentando um ponto a cada lado, e depois completar até construir o resto do poligono.

    Outro exemplo destes números são os números pentagonais.

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Números Tetraédricos

    Um número tetraédrico trata-se de um número figurado. Estes podem ser definidos como o número de pontos necessários para construir uma sequência de tetraedros, tendo em conta que as bases da pirâmide são triângulares e, portanto constituídas por números triângulares.

     Assim, os números tetraédricos também podem ser definidos como a soma de números triangulares consecutivos. Isto é,                    

onde Te(n) é o n-ésimo número tetraédrico e T(n) é o n-ésimo número triangular .

   No triângulo de Pascal podemos encontrar estes números na quarta diagonal, como exemplifica a figura.

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Números "Pentatopes"

    Trata-se de outro número figurado, que é dado pela fórmula

onde T(n) é o n-ésimo número tetraédrico.

    Os primeiros números "pentatopes" são 1, 5, 15, 35, 70,... e podem ser encontrados na quinta diagonal do Triângulo de Pascal, como se pode ver na figura.